离散时间信号与系统-时域：2

 7.信号是向量

信号是数学对象，咱们将要展现分析信号几何性质的工具-线性代数。经过线性空间的解读，咱们能够对信号的强度，信号之间的类似程度进行分析。使用矩阵能够更好地理解信号处理过程。

 

向量空间的定义，就是一个线性空间的定义。

在实数空间R和复数空间C都有效，经常表述为N维的空间。咱们将使用二维空间进行举例。

学习中，仅仅使用x就表明二维空间中的向量，而且每一个向量的份量从0开始计数，而不是1.标量alpha是实数。向量空间的性质1：缩放（尺度变换）就是alpha x。

向量空间的性质2：两个向量相加，仍然处于这个向量空间。

信号的相加，表示两个信号的混合（mix）后的新的信号。

复数向量空间仅在实数向量空间进行简单的修改：信号中的每一个份量是一个复数（是复数就存在两种表示方法：复平面坐标与极坐标）。

直角坐标系表示：分红两个向量；极坐标系，注意每一个信号的大小是绝对值（实际上是该信号在的长度）。

8.信号的线性组合

许多信号处理的基础是多个信号的混合相加，线性组合结果仍然是该向量空间中的向量。

假设每一个信号（向量）都是一种乐器产生的时域信号。混音就是简单将他们进行线性组合（混音哦，好帅）

线性组合=矩阵相乘，每一个x_m都是一个向量（列），表明一种乐器随着时间出现的声音的嘛，而线性组合就是矩阵和向量的乘积。

更加血腥的细节！！！ x_m的信号长度为N，而一共有M种信号，将其细节进行展现以下。因此信号获得两种表述，矩阵表述(n行m列的矩阵)[X]n,m= x_m[n]（一共有m种信号，每一个信号长度为n）。分别把X视为标量和把x视为向量。

 因此信号的线性组合就是矩阵的乘法

总结：

线性代数在数字信号处理中过重要了！！！ 

信号存在于向量空间的向量！！！

经过线性组合，咱们能够将多个信号组合成一个新的信号。

线性组合其实就是矩阵和向量的乘法。

 

9.信号的范数（Norm）

出现一个问题： 如何衡量信号（向量）的强度？

 

 

信号的强度经过范数进行描述，其中2范数（也叫欧式距离，欧式距离，欧式距离）定义为一个信号的能量（power）。（注意2范数的写法和它的缩写方法）；例子中是复数空间哦。

P范数表示信号的绝对值的p次方的累加，最后再进行p次开方。1范数为每一个信号份量的绝对值的和。注意：都是对信号份量绝对值的操做，即表示该信号向量的每一个维度上的操做。

有意思的来了！！！无穷范数表示的是一个信号中，幅值最大的份量。

2范式描述的是信号的能量，而无穷范式描述的是信号的峰值（该信号份量的1范式的值，不是欧式距离。注意注意注意，复数空间中这个值是该信号的长度）。

应用举例:扬声器

在磁铁周围缠绕一层线圈（coil of wire），在振动一侧，将线圈与纸质的椎体连接（paper cone），当线圈中流过电流，电磁效应使得线圈沿着轴向左右移动，拉动纸质椎体进行振动，最后发声。

若是能量（2范式）的值太大，线圈就会因为过热而融化。

若是峰值（无穷范式）的值太大，线圈就会左右移动的太厉害，致使纸质椎体脱胶（回忆一下，真的好常见啊。）

 

例子2：自动驾驶汽车

2范数表示汽车的轨迹相对正确路线的拟合程度。 （能量越小，拟合程度越高，表示汽车沿着真个轨道走的越好）。可是，仅仅损失函数的值达到最好仍是不够，若是无穷范数过大，表示某一次的偏离及其严重，那么就会产生严重事故。 因此，这个时候通常须要在轨迹两侧创建警惕线，而该车的轨迹的无穷范数的值不容许超过警惕线范围。

向量的标准化（归一化）：将向量的长度化为1.

 

 总结：

范数测量了信号的强度，咱们介绍了1范数，2范数和无穷范数。

 

10.内积

上面介绍了信号是向量，单个信号的定量分析（强度等）由范数规定。下面，咱们介绍一对信号的定量分析，（做用巨大并且很是常见的方法）。

 

信号的转置：行与列进行交换。

若是将转置与共轭操做放在一块儿（这个操做颇有用），就叫作复数转置（厄米特转置），使用H进行表示先进行转置，而后将每一个份量进行取共轭操做，用*号表示。实数的共轭转置就是普通的转置咯。

 

复数乘法法则：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。因此，复数与其共轭相乘等于一个实数。

内积的定义中，后面的向量要进行共轭转置，复数空间的时候，虚数部分符号取反；实数空间的时候，与普通的转置相同）。实数向量的内积是个值（标量），而复数向量的内积仍然是个复数（标量，例如x和y一个实数向量，一个虚数向量）。可是这种定义能够保证复数向量本身自己的内积是个正数。

实数信号中，角度等于内积与两个向量的2范数的相除。复数信号中稍微复杂，角度等于内积的实数部分与两个向量的2范数的相除。注意 注意 注意 复数内积夹角的求法。
内积就表示两个向量的类似程度，虽然计算时使用x[n]与y[n]*的乘积，可是它表示的是x[n]与y[n]的内积，<x[n],y[n]>

 

应用举例：

 

 每一个信号自己的内积就是该信号的2范数。（实数与复数皆同样）

正交向量：若是两个向量正交，则他们的内积为0

谐波正弦是正交的。（谐波正弦表示改离散时域正弦信号为周期信号的状况，即角频率omega为:(2*pi*k)/N,N是周期）。 注意离散时域正弦的定义，注意离散时域正弦的定义，注意离散时域正弦的定义。

注意：exp^j*2*pi*k = 1 由于，exp^j*2*pi*k = cos（2*pi*k）+j*sin（2*pi*k）

 谐波正弦信号的2范数为sqrt（N），其中N为信号长度。它的归一化以下：

总结：

内积的定义。内积夹角度定义。谐波正弦信号是正交的。

 

11.矩阵相乘和内积

信号的线性组合就是矩阵与向量的乘积，而线性组合也能够表示为两个向量的内积。

多个不一样信号，在时间n进行混合，获得的值y[n]为：X矩阵的第n行与权值的内积。复数向量的内积计算须要共轭转置，因此用T表达是不许确的。

 

总结：

矩阵与向量相乘也是向量内积。

 

12.柯西不等式

内积和角度这两个有用的工具能够帮助咱们对信号进行比较。Amazing的是，柯西不等式能够对这个比较进行定量分析。

经过夹角获得了柯西不等式，获得结论：内积体现了两个信号的类似程度。

柯西不等式很重要，柯西不等式很重要，柯西不等式很重要。两个信号共线，则他们的类似程度最高。一个信号就是另外一个信号的缩放（哇哇哇，太神奇）。（想一想他们的信号长度N相同，通过alpha的缩放。）

 

应用举例：大前提：全部信号在传输过程当中，都有噪音的影响。

如何识别通信信号中的0和1？ 由于实际波形噪音严重，可是经过与理想信号（0和1）进行内积，就能获得该信号属于0或者1的可能性的大小。

雷达发出一个冲击信号，同时不断接受各类信号（纯噪音，各类信号与噪音的负荷信号），一样进行不断的内积，若是发现了较大的内积值，就是咱们想要的结果了。根据延时信息还能够获得该信号（飞机）的速度信息。

面部识别：最简单的是图像的全部点都进行了注册，因此信号的长度相等，对应份量位置表示相同的信息。因此内积能够表示两个图像的类似程度。（实际识别复杂的多）

 

总结：

内积能够衡量两个信号的类似程度。

柯西不等式对这种衡量进行了校准，结果在0，1之间。信号接近边界分别表示了不一样和类似。

 

 

13.长度无限的向量（信号）

以上，咱们研究的对象都是有限长度的信号，包括实数和复数两种信号，并研究了他们的范式，内积和线性组合。下面，咱们看看无限长的信号。信号的份量标示n从负无穷到正无穷之间。

 

先看看超级有用的2范数。 从有限到无限，范数的定义没有变化。可是，在无限长度信号中，不必定存在2范数~~~~~~

 

例如，下面信号的2范数表示该信号： 能量无限能量无限能量无限 哈哈我疯了。

推广到p_norm，也不是全部的无限信号都有P范数。

无穷范数呢？

内积的定义与有限信号相比，也没有变化噢。

无限信号的内积与线性组合关系十分紧密，而且与有线信号的线性组合是同样的。 更重要的是：咱们对不少无限信号的线性组合很是关注。

总结：

无限信号的范数，内积，线性组合与有限信号彻底同样。

BUT， 无限信号存在1范数，2范数，无穷范数不存在的状况。另外，线性组合中可能涉及到无穷种信号的混合（而不仅仅是信号长度为无穷）