李宏毅机器学习课程笔记2:Classification、Logistic Regression、Brief Introduction of Deep Learning

台湾大学李宏毅老师的机器学习课程是一份非常好的ML/DL入门资料,李宏毅老师将课程录像上传到了YouTube,地址:NTUEE ML 2016。 
这篇文章是学习本课程第4-6课所做的笔记和自己的理解。


Lecture 4: Classification: Probabilistic Generative Model

以根据宝可梦各属性值预测其类型为例说明分类问题。 
训练数据是若干宝可梦的各属性值及其类型。

1、分类问题不能被视为回归问题 
以二类分类为例,离决策边界过远的点“过于正确”造成error很大,从而对决策边界造成影响,导致误分类。 
多类分类问题,若把各类的target设成1,2,3……也是有问题的,因为这样做暗含了各类的target是有大小远近关系的。

2、给宝可梦分类的初步想法 
假设现在宝可梦只有两类,要预测x属于哪类,若P(C1|x)>0.5则属于第一类,否则属于第二类。 
计算P(C1|x)要用到贝叶斯公式,对Generative Model,P(x)=P(x|C1)P(C1)+P(x|C2)P(C2)是可算的,从训练数据中估计P(C1)、P(C2)、P(x|C1)、P(x|C2)这四个值。 
P(C1)、P(C2)容易估计,算一下训练数据里两类各占多少就可以了。 
要估计P(x|C1)、P(x|C2)就需要做一些假设。 
我们假设训练数据中所有的第一类/第二类数据,都是分别从两类对应的高斯分布产生的。 
理论上任何参数(μ,)的高斯分布都可以产生训练数据,只是likelihood不同。 
用最大似然的方法可以得出,使得似然函数最大的参数(μ,)分别是训练数据中该类数据的平均值和协方差矩阵。 
这样就可以求得P(C1|x)了。 
在考虑了宝可梦的7种特征的情况下,这样的分类方法在测试集上的正确率只有54%。

3、改进模型 
在上面的方法中, 的大小与输入特征的维度的平方成正比。如果两类各自的高斯分布的 不同的话,模型参数太多,容易过拟合。所以让两个 相等,都等于=P(C1)1+P(C2)2 。 
这样做,把准确率从54%提高到了73%。

4、在假设数据分布时,可以用你喜欢的分布。 
如,假设特征的各个维度是独立的,得到朴素贝叶斯分类器。或者,对于二值特征,假设其来自于伯努利分布。

5、最后做了一些数学推导: 
令 P(C1|x)=σ(z) (σ() 表示sigmoid函数),那么在1=2= 时,z 可以表示为wx+b 。 
所以,在1=2= 时,分类器有线性边界。 
在生成模型中,我们通过估计N1,N2,μ1,μ2, 来得到w,b 。

Lecture 5: Logistic Regression

比较逻辑回归Logistic Regression与线性回归Linear Regression

上节课说道,P(C1|x)=σ(z)=σ(wx+b) 。w,b 取任意值就构成了function set。 
function set

这就得到了逻辑回归Logistic Regression与线性回归Linear Regression在Step 1(选择model)时的区别。 
Step 1

接下来Step 2,评价函数好坏。对训练数据(x1,C1)(x2,C1)(x3,C2)……用y^=1 表示C1,用y^=0 表示C2。那么似然函数可以表示为 
likelyhood

(第二行等号右侧缺少一个负号) 
最大化似然函数即是最小化交叉熵。交叉熵代表两个分布有多接近,若两个分布完全一样则交叉熵等于0。 
这样就得到了逻辑回归Logistic Regression与线性回归Linear Regression在Step 2(评价函数好坏)时的区别。 
Step 2

接下来Step 3, find the best function,用梯度下降,得到参数更新公式: 
gd

对这一结果的直观理解是:模型结果与目标差距越大,参数更新幅度就越大。 
逻辑回归Logistic Regression与线性回归Linear Regression在用梯度下降法更新参数时公式相同。 
Step 3

Logistic Regression损失函数的选取

为什么Logistic Regression用交叉熵损失而不用平方误差损失呢? 
如果用平方误差损失,在计算损失函数对参数的微分时会出现如下情况: 
y_hat=1 
y_hat=0 
说明,在结果 far from target 时,微分很小。 
为了更形象的说明问题,将交叉熵损失/平方误差损失与参数之间的关系画出来: 
loss 
离目标远,cross entropy微分大,square error微分小。 
离目标近,cross entropy微分小,square error微分小。 
不管离目标远还是近,square error微分都小。所以微分小的时候,不知道离目标远还是近。 
用cross entropy可以让training顺利很多。

判别方法 v.s. 生成方法

这节课的判别方法,与上节课的生成方法,模型是一样的,都是 
model 
判别方法,通过梯度下降,直接找到w,b。 
生成方法,通过估计N1,N2,μ1,μ2, 来得到w,b 。 
同样的模型,同样的训练数据,采用两种方法所得结果(w,b)不同。因为生成方法对概率分布做了假设。 
哪个更好?Discriminative model 常比Generative model表现更好。下面是一个简单例子: 
example 
朴素贝叶斯的结果是Class 2。

生成模型在一些情况下相对判别模型是有优势的: 
1、训练数据较少时。判别模型的表现受数据量影响较大,而生成模型受数据量影响较小。 
2、label有噪声时。生成模型的假设(“脑补”)反而可以把数据中的问题忽视掉。 
3、判别模型直接求后验概率,而生成模型将后验概率拆成先验和似然,而先验和似然可能来自不同来源。以语音识别(生成模型)为例,DNN只是其中一部分,还需要从大量文本(不需要语音)中计算一句话说出来的先验概率。

Multi-class Classification

在做Multi-class Classification时,需要softmax。原因可参考Bishop P209-210,或Google “maximum entropy”。 
Multi-class Classification 
最小化交叉熵,等价于最大化似然函数。

Logistic Regression的局限性

不能表示XOR。(边界是直线。) 
解决方法:做feature transformation. (Not always easy to find a good transformation.) 
希望机器自己找到 transformation:把多个Logistic Regression接起来。 
Cascading logistic regression models

一个Logistic Regression的input可以是其它Logistic Regression的output;一个Logistic Regression的output可以是其它Logistic Regression的input。这样,我们就得到了Neural Network,其中每个Logistic Regression叫做一个Neuron.

Lecture 6: Brief Introduction of Deep Learning

Step 1: function set

Neuron之间采用不同的连接方式,就会得到不同的网络结构。 
给定了网络结构,就定义了一个function set。 
给定了网络结构并给定了参数,网络就是一个函数:输入输出都是向量。

NN 
NN

在output layer之前的部分,可以看做特征提取。output layer是Multi-class Classifier.

FAQ

Step 2: goodness of function

Step 2 
Step 2

Step 3: pick the best function

Gradient Descent 
BP