由斐波纳契数列衍生出来的斐波纳契数列

斐波纳契（Fibonacci）数列:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…

以0和1开始，而且后面的每一个斐波纳契数是前两个斐波纳契数之和。

斐波纳契数列能够递归定义：

Fibonacci（0）= 0

Fibonacci（1）= 1

Fibonacci（n）= Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2)

使用递归算法的Java代码以下：

public long fibonacci(long n)

{

if(n==0||n==1)

   return n;

else

  return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)；

}

在这里有个有趣的问题：

假如计算fibonacci(3)时，会产生2个递归调用; fibonacci(2)和fibonacci(1)以下图：

进行简化以下：

从上图中能够清楚的看到使用递归算法计算fibonacci（3）一共进行了5次递归调用；

那么计算fibonacci（20）、fibonacci（30）、…又要递归多少次呢？

假如计算fibonacci（31）须要调用4356617次，计算fibonacci（32）须要7049155次，能够看出递归计算斐波那契数列，对函数的调用是爆炸式的，相邻的第31和32个斐波那契数就增加了664080次。

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
fibonacci（n）	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34

那么再列出fibonacci(4)的图

一共调用5+3+1=9次

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
fibonacci（n）	0 1	1 0	1 2	2 3	3 6	5 19	8 17	13 28	21 46	34 75
次数count(n)	1	1	3	5	9	15	25	41	67	109

红色字体为调用次数与计算fibonacci（n）的值之差。

能够获得差值和调用次数分别遵循以下斐波那契函数：

差值：

Difference (0) = 1

Difference (1) = 0

Difference (n) = Difference (n-1) +  Difference (n-2) + 1

调用次数;

Count (0) = 1

Count (1) = 1

Count (n) = Count (n-1) +  Count (n-2) + 1