图卷积神经网络(Graph Convolutional Network, GCN)

时间 2020-12-30

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从谱聚类说起

RatioCut 切图聚类

傅里叶变换推导

参考资料

从谱聚类说起

谱聚类(spectral clustering)是一种针对图结构的聚类方法，它跟其他聚类算法的区别在于，他将每个点都看作是一个图结构上的点，所以，判断两个点是否属于同一类的依据就是，两个点在图结构上是否有边相连，可以是直接相连也可以是间接相连。举个例子，一个紧凑的子图（如完全图）一定比一个松散的子图更容易聚成一类。

那谱聚类为什么叫谱而不是图聚类呢？这个spectral是什么东西？我们知道一个图是可以用一个邻接矩阵A来表示的。而矩阵的谱（spectral）就是指矩阵的特征值，那么这个特征值跟图的矩阵到底有什么深刻的联系呢？
那么首先，图的聚类是什么？我们可以将聚类问题简化为一个分割问题，如果图的结点被分割成A,B这两个集合，那么我们自然是希望在集合中的结点的相互连接更加紧密比如团，而使得子图之间更加尽可能松散。
为了建立这个联系，我们构造一个laplace matrix：

$L=D-A$

D是一个对角矩阵，每个对角元素 $\displaystyle D_{ii}$ 表示第i个结点的度。A则是这个图邻接矩阵。为什么要这样去构造一个矩阵呢？因为研究图的一些性质的时候，我们常常用到一个类似于下式的目标函数：

$\mathbf{x^{T}} M\mathbf{x} =\sum _{\{u,v\} \in E}( x_{u} -x_{v})^{2}$

这个目标函数可以定义图上的很多问题，比如最小图分割问题，就是要找到一个方法将图分成两块的使得切割的边最少（如果边有权重那就是切割的权重最小）。如下图，你不能找到一个比切两条边更少的分割方法了。

而这个优化问题其实等价于当 $\displaystyle x\in \{0,1\}^{V}$ 的时候:

$\min\sum _{\{u,v\} \in E}( x_{u} -x_{v})^{2} =\sum _{u\in A,v\not{\in }\overline{A}}( 1-0)^{2} +\sum _{u\in A,v\not{\in }\overline{A}}( 0-1)^{2} =2cut\left( A,\overline{A}\right)$

而这个方程不正是一个二次型吗。为了让二次型得到这个结果。我们发现，当 $\displaystyle M=dI-A=D-A$ 的时候就可以了。验证一下：

$\mathbf{x}^{T}( dI-A)\mathbf{x} =d\mathbf{x}^{T}\mathbf{x} -\mathbf{x}^{T} A\mathbf{x} =\sum _{v} dx^{2}_{v} -2\sum _{\{u,v\} \in E} x_{u} x_{v} =\sum _{\{u,v\} \in E}( x_{u} -x_{v})^{2}$

此外，当A不是邻接矩阵而是权重矩阵W的时候，于是d就从度推广到权重的求和，那么这个公式还可以推广为：

$x^{T} Lx\mathbf{=x}^{T}( dI-W)\mathbf{x} =\sum _{i,j} \omega _{ij}( x_{u} -x_{v})^{2}$

RatioCut 切图聚类

现在，我们可以尝试将这个目标函数与Ratio切图聚类的目标函数建立起联系，建立联系有什么好处呢？好处就是如果我们发现切图的目标函数是这个二次型，那么我们只要优化这个二次型，不就可以用连续的方法来解决一个离散的问题吗？
RatioCut考虑最小化 $\displaystyle cut( A_{1} ,A_{2} ,...,A_{k})$ ，同时最大化每个子图的个数即：

$RatioCut(A_{1} ,A_{2} ,...A_{k} )=\frac{1}{2}\sum\limits ^{k}_{i=1}\frac{cut(A_{i} ,\overline{A}_{i} )}{|A_{i} |}$

其中 $\displaystyle cut(A_{i} ,\overline{A}_{i} )$ 表示两个子图之间的距离(两个子图结点之间距离的求和)：

$cut(A_{i} ,\overline{A}_{i} )=\sum\limits _{i\in A,j\in \overline{A}_{i}} w_{ij}$

这里公式里的是A与A的补集的切图权重（切的边权重的求和），也就是说我们希望子图A与其余的图分离的代价最小，比如我只要切掉一条微不足道的边就能将两个复杂的图（比如两个团）分离开，那么就可以认为这是一个好的切割。

现在我们仿照上面的x，将其推广到多个簇，于是我们用一个指示函数（one-hot）来表达每个结点属于哪个子图，这样就将切割问题跟二次型建立起了联系

我们引入指示向量 $h_{j} \in \{h_{1} ,h_{2} ,..h_{k} \}\ j=1,2,...k$ ，表示有k个子图，对于任意一个向量 $\displaystyle h_{j}$ , 它是一个|V|-维向量（|V|为结点数，用来标记哪个结点属于哪个子图，类似于one-hot），我们定义 $\displaystyle h_{ij}$ 为：
$h_{ij} =\begin{cases} 0 & v_{j} \notin A_{i}\\ \frac{1}{\sqrt{|A_{i} |}} & v_{j} \in A_{i} \end{cases}$

那么，对于每一个子图都有：
$\begin{aligned} h^{T}_{i} Lh_{i} & =\frac{1}{2}\sum\limits ^{|V|}_{m=1}\sum\limits ^{|V|}_{n=1} w_{mn} (h_{im} -h_{in} )^{2}\\ & =\frac{1}{2} (\sum\limits _{m\in A_{i} ,n\notin A_{i}} w_{mn} (\frac{1}{\sqrt{|A_{i} |}} -0)^{2} +\sum\limits _{m\notin A_{i} ,n\in A_{i}} w_{mn} (0-\frac{1}{\sqrt{|A_{i} |}} )^{2}\\ & =\frac{1}{2} (\sum\limits _{m\in A_{i} ,n\notin A_{i}} w_{mn}\frac{1}{|A_{i} |} +\sum\limits _{m\notin A_{i} ,n\in A_{i}} w_{mn}\frac{1}{|A_{i} |}\\ & =\frac{1}{2} (cut(A_{i} ,\overline{A}_{i} )\frac{1}{|A_{i} |} +cut(\overline{A}_{i} ,A_{i} )\frac{1}{|A_{i} |} )\\ & =\frac{cut(A_{i} ,\overline{A}_{i} )}{|A_{i} |} \end{aligned}$ hiTLhi=21m=1∑∣V∣n=1∑∣V∣wmn(him−hin)2=21(m∈Ai,n∈/Ai∑wmn(∣Ai∣ 1−0)2+m∈/Ai,n∈Ai∑wmn(0−∣Ai∣ 1)2=21(m∈Ai,n∈/Ai∑wmn∣Ai∣1+m∈/Ai,n∈Ai∑wmn∣Ai∣1=21(cut(Ai,Ai)∣Ai∣1+cut(Ai,Ai)∣Ai∣1)=∣Ai∣cut(Ai,Ai)

其原理在于，因为当 $\displaystyle m\in A_{i} ,n\notin A_{i}$ 时，因为结点 $\displaystyle v_{m}$ 属于子图i，结点 $\displaystyle v_{n}$ 不属于子图i，于是 $\displaystyle h_{im} -h_{in} =\frac{1}{\sqrt{|A_{i} |}} -0$ ，同理，当 $\displaystyle v_{m}$ , $\displaystyle v_{n}$ 都属于子图的时候 $\displaystyle h_{im} -h_{in} =\frac{1}{\sqrt{|A_{i} |}} -\frac{1}{\sqrt{|A_{i} |}} =0$ 。

上述是第i个子图的式子，我们将k个子图的h合并成一个H，于是式子变成：

$RatioCut(A_{1} ,A_{2} ,...A_{k} )=\sum\limits ^{k}_{i=1} h^{T}_{i} Lh_{i} =\sum\limits ^{k}_{i=1} (H^{T} LH)_{ii} =tr(H^{T} LH)\\ s.t.\ h^{T}_{i} h_{i} =1,\ i=1,2,...,k$

也就是说Ratiocut本质上就是在最小化 $\displaystyle tr(H^{T} LH)$ 这个东西。那么怎么优化呢？注意到每个 $\displaystyle h_{i}$ 都是相互正交的，因为一个结点不能同时属于多个类别，因此H是一个正交矩阵，又因为L是一个对称矩阵，那么可以证明，H是L的特征向量的时候，恰好是这个优化问题的解，我们需要要找到那么特征值比较小的特征向量，就可以找到一种代价最小的切割方法。我们可以来证明一下,特征向量恰好是他的极值：

$\begin{aligned} \nabla _{h}\left( h^{T} Lh-\lambda \left( 1-h^{T} h\right)\right) & =\nabla _{h} tr\left( h^{T} Lh-\lambda \left( 1-h^{T} h\right)\right)\\ & =\nabla _{h} tr\left( h^{T} Lh\right) -\lambda \nabla _{h} tr\left( hh^{T}\right)\\ & =\nabla _{u} tr(uu^{T} L)-\lambda \nabla _{h} tr(hEh^{T} E)\\ & =\nabla _{u} tr(uEu^{T} L)-\lambda \nabla _{h} tr(hEh^{T} E)\\ & =Lu+L^{T} u-\lambda ( h+h)\\ & =2Lu-2\lambda h\\ & =0\\ & \Longrightarrow Lu=\lambda h \end{aligned}$

这里用到了一些最优化求导常用公式技巧，其实这个推导跟PCA是一样的，只不过PCA找的是最大特征值（PCA中L是协方差矩阵，目标是找到一个向量最大化方差），这里是找最小特征值，我们目标是找到一个向量最小化这个二次型矩阵。
最后，通过找到L的最小的k个特征值，可以得到对应的k个特征向量，这k个特征向量组成一个nxk维度的矩阵，即为我们的H。一般需要对H矩阵按行做标准化，即

$h^{*}_{ij} =\frac{h_{ij}}{(\sum\limits ^{k}_{t=1} h^{2}_{it} )^{1/2}}$

由于我们在使用维度规约的时候损失了少量信息，导致得到的优化后的指示向量h对应的H不能完全指示各样本的归属（因为是连续的优化，不可能恰到得到一个one-hot向量），因此一般在得到nxk维度的矩阵H后还需要对每一行进行一次传统的聚类，比如使用K-Means聚类，从而得到一个真正的one-hot指示向量。

所以谱聚类的流程可以总结如下：

计算标准化后的lapace矩阵
求解标准化lapace矩阵的特征值与特征向量
取最小的k1个特征向量
对这k1个特征向量聚类，聚类数为k2
得到k2个簇，就是对应k2个划分。

GCN

图卷积神经网络，顾名思义就是在图上使用卷积运算，然而图上的卷积运算是什么东西？为了解决这个问题题，我们可以利用图上的傅里叶变换，再使用卷积定理，这样就可以通过两个傅里叶变换的乘积来表示这个卷积的操作。那么为了介绍图上的傅里叶变换，我接来下从最原始的傅里叶级数开始讲起。

从傅里叶级数到傅里叶变换

此部分主要参考了马同学的两篇文章：

傅里叶级数的直观意义

如下图，傅里叶级数其实就是用一组sin，cos的函数来逼近一个周期函数，那么每个sin，cos函数就是一组基，这组基上的系数就是频域，你会发现随着频域越来越多（基越来越多），函数的拟合就越准确。

傅里叶变换推导

要讲傅里叶变换的推导，我们要先从傅里叶级数讲起，考虑一周期等于T，现定义于区间[-T/2,T/2]的周期函数f(x)，傅里叶级数近似的表达式如下:

$f(x)=C+\sum ^{\infty }_{n=1}\left( a_{n} cos(\frac{2\pi n}{T} x)+b_{n} sin(\frac{2\pi n}{T} x)\right) ,C\in \mathbb{R}$

利用偶函数*奇函数=奇函数的性质可以计算出 $\displaystyle a_{k}$ 与 $\displaystyle b_{k}$

$a_{n} =\frac{\int ^{T/2}_{-T/2} f(x)cos(\frac{2\pi n}{T} x)dx}{\int ^{T/2}_{-T/2} cos^{2} (\frac{2\pi n}{T} x)dx} =\frac{2}{T}\int ^{T/2}_{-T/2} f(x)cos(\frac{2\pi n}{T} x)dx\\ b_{n} =\frac{\int ^{T/2}_{-T/2} f(x)sin(\frac{2\pi n}{T} x)dx}{\int ^{T/2}_{-T/2} sin^{2} (\frac{2\pi n}{T} x)dx} =\frac{2}{T}\int ^{T/2}_{-T/2} f(x)sin(\frac{2\pi n}{T} x)dx$

利用欧拉公式 $e^{ix} =\cos x+i\sin$ x，我们发现 $\displaystyle \cos x,\sin x$ 可表示成

$\cos x=\frac{e^{ix} +e^{-ix}}{2} ,\sin x=\frac{e^{ix} -e^{-ix}}{2i} ，$

再将傅立叶级数f(x)中 $\cos (\frac{2\pi n}{T} x)$ 和 $\sin (\frac{2\pi n}{T} x)$ 的线性组合式改写如下：

$\begin{aligned} a_{n}\cos (\frac{2\pi n}{T} x)+b_{n}\sin (\frac{2\pi n}{T} x) & =a_{n}\left(\frac{e^{i\frac{2\pi n}{T} x} +e^{-i\frac{2\pi n}{T} x}}{2}\right)+b_{k}\left(\frac{e^{i\frac{2\pi n}{T} x} -e^{-i\frac{2\pi n}{T} x}}{2i}\right)\\ & =\left(\frac{a_{n} -ib_{n}}{2}\right) e^{i\frac{2\pi n}{T} x} +\left(\frac{a_{n} +ib_{n}}{2}\right) e^{-i\frac{2\pi n}{T} x}\\ & =c_{n} e^{i\frac{2\pi n}{T} x} +c_{-n} e^{-i\frac{2\pi n}{T} x} \end{aligned}$

可以验证 $\displaystyle c_{-n} =\frac{a_{-n} -ib_{-n}}{2} =\frac{a_{n} +ib_{n}}{2}$ ，这是因为an是一个偶函数，bn是一个奇函数。此外，若n=0，就有 $c_{0} =a_{0} /2$ 。将以上结果代回f(x)的傅立叶级数即得指数傅立叶级数：

$f(x)=\sum ^{\infty }_{n=-\infty }\underbrace{c_{n}}_{基的坐标} \cdot \underbrace{e^{i\tfrac{2\pi nx}{T}}}_{正交基}$

现在我们知道 $\displaystyle c_{n} =\frac{a_{n} -ib_{n}}{2}$ ，将 $\displaystyle a_{n} ,b_{n}$ 的结果代进去可以得到：
$c_{n} =\frac{1}{T}\int ^{T/2}_{-T/2} f(x)(\cos (\frac{2\pi n}{T} x)-i\sin (\frac{2\pi n}{T} x))dx=\frac{1}{T}\int ^{T/2}_{-T/2} f(x)e^{-i \frac{2\pi n}{T}} x dx$

公式用频率替换： $\displaystyle \Delta \omega =\frac{2\pi }{T}$ ，再令 $\displaystyle \omega _{n} =\omega n$ 现在我们可以写出全新的傅里叶级数：

$f(x)=\sum ^{\infty }_{n=-\infty }\frac{\Delta \omega }{2\pi }\int ^{T/2}_{-T/2} f(x)e^{-i\omega _{n} x} dx\cdot } e^{i\omega _{n} x$

现在令 $\displaystyle T\rightarrow \infty ，\Delta \omega \rightarrow 0$ ，并设 $\displaystyle F{\displaystyle ( \omega ) =\lim _{T\rightarrow \infty }\int ^{T/2}_{-T/2} f(x)e^{-i\omega x} dx}$
$\begin{aligned} {\displaystyle f(x)} & ={\displaystyle \sum ^{\infty }_{n=-\infty }\frac{\Delta \omega }{2\pi } F( \omega _{n}) \cdot } e^{i\omega _{n} x}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2\pi }\sum ^{\infty }_{n=-\infty } F( \omega _{n}) \cdot } e^{i\omega _{n} x} \Delta \omega \\ & ={\displaystyle \frac{1}{2\pi }\int ^{+\infty }_{-\infty } F( \omega ) \cdot } e^{i\omega x} d\omega \end{aligned}$

于是得到了傅里叶变换就是

$F( \omega ) =\int ^{+\infty }_{-\infty } f(x)e^{-i\omega x} dx$

Signal Processing on Graph

在将图的傅里叶变换之前，我们先介绍一下图信号是什么。我们在传统概率图中，考虑每个图上的结点都是一个feature，对应数据的每一列，但是图信号不一样，这里每个结点不是随机变量，相反它是一个object。也就是说，他描绘概率图下每个样本之间的图联系，可以理解为刻画了不满足iid假设的一般情形。

图上的傅里叶变换

那么我们要怎么将传统的傅里叶变换推广到图结构中去？回忆一下，传统对f作傅里叶变换的方法：

$\hat{f} (\xi ):=\left< f,e^{2\pi i\xi t}\right> =\int _{\mathbb{R}} f(t)e^{-2\pi i\xi t} dt$

我们换了种写法，其实我们发现这个傅里叶变换本质上是一个内积。这个 $\displaystyle e^{-2\pi i\xi t}$ 其实是lapace算子的一个特征函数，可以理解为一种特殊形式的特征向量：

$-\Delta \left( e^{2\pi i\xi t}\right) =-\frac{\partial ^{2}}{\partial t^{2}} e^{2\pi i\xi t} =(2\pi \xi )^{2} e^{2\pi i\xi t}$

注意，这里导数本质上是一个线性变换，因为它满足线性算子的两个性质，T(x+y)=T(x)+T(y), cT(x)=T(cx)。可以看到 $\displaystyle e^{2\pi i\xi t}$ 是laplace算子的特征向量，而 $\displaystyle (2\pi \xi )^{2}$ 则是lapace算子的特征值。那么在图上我们的laplace矩阵就是离散化的lapace算子，而这个算子在图上的基显然就是特征向量了！

因此，只要意识到传统的傅里叶变换本质上求的是与正交基的内积（比如基 $\displaystyle e^{2\pi i\xi t}$ ）上的系数，而推广到图上的正交基很显然就是laplace矩阵的特征值，于是对于laplace矩阵的傅里叶变换就可以表达为:

$\hat{f}( \lambda _{l}) :=< \mathbf{f} ,\mathbf{u}_{l}> =\sum ^{N}_{i=1} f(i)u^{*}_{l} (i)$

显然这个变换就是在求解特征向量的系数，也就是特征值，因此，可以理解为图上的经过傅里叶变换后的函数 $\displaystyle \hat{f}$ 就是一个计算特征值的函数。

更一般的，图上的傅里叶变换可以写成以下内积的形式，其中U是laplace矩阵的特征向量矩阵：
傅里叶变换：

$\hat{x} =U^{T} x$

傅里叶逆变换：

$x=U\hat{x}$

因此，我们就可以定义图上的卷积，因为它就是简单的两个变换的乘积而已：
比如，x,y的卷积，就是他们傅里叶变换相乘

$y\star x=U^{T} yU^{\top } x$

如果我们将y参数化，设 $\displaystyle g_{\theta } =\operatorname{diag} (\theta )$ ，就可以训练一个卷积核：

$g_{\theta } \star x=Ug_{\theta } U^{\top } x$

然而计算U的代价太高了，因此要想办法去近似它，有人提出，

$g_{\theta ^{\prime }} (\Lambda )\approx \sum ^{K}_{k=0} \theta ^{\prime }_{k} T_{k} (\tilde{\Lambda } )$

$g_{\theta } \star x=Ug_{\theta } U^{\top } x$

然而计算U的代价太高了，因此要想办法去近似它，有人提出，

$g_{\theta ^{\prime }} (\Lambda )\approx \sum ^{K}_{k=0} \theta ^{\prime }_{k} T_{k} (\tilde{\Lambda } )$
其中 $\displaystyle \tilde{\Lambda } =\frac{2}{\lambda _{\max}} \Lambda -I_{N}$ ，现在假设 $\displaystyle \lambda _{\max} \approx 2$

$g_{\theta ^{\prime }} \star x\approx \theta ^{\prime }_{0} x+\theta ^{\prime }_{1}( L-I_{N}) x=\theta ^{\prime }_{0} x-\theta ^{\prime }_{1} D^{-\frac{1}{2}} AD^{-\frac{1}{2}} x$

最后再假设这两个参数是共享的，可以得到：

$g_{θ} ⋆ x \approx θ (I_{N /span>}$ x

最后再假设这两个参数是共享的，可以得到：

$g_{\theta } \star x\approx \theta \left( I_{N} +D^{-\frac{1}{2}} AD^{-\frac{1}{2}}\right) x$