面试中的复杂度分析
到底什么是大O
- n表示数据规模
- O(f(n)) fn是关于n的一个函数。表示运行算法所须要执行的指令数，和f(n)成正比。
- 和a.b.c.d这些常数项关系不大。主要仍是看它是哪一个层级的。
算法A：O(n) 所需执行指令数：10000n
算法B：O(n^2) 所需执行指令数：10n^2ios
- n的规模逐渐增大。算法a.b的指令数变化。
-
当n大于某个临界点，a必定会超过b。这是量级上的差距。c++
-
复杂度很高的算法可能有前面的优点，在数据量很小的时候有意义。算法
- 对于全部高级的排序算法，当数据规模小到必定程度，咱们均可以使用插入排序法进行优化。10%-15%。细节优化。
-
不一样时间复杂度随着数据规模的增大数组
约定
- 在学术界，严格地讲，O(f(n))表示算法执行的上界
- 归并排序算法的时间复杂度是O(nlogn)的，同时也是O(n^2)
- c.nlogn < a.n^2
- 在业界，咱们就使用O来表示算法执行的最低上界
- 咱们通常不会说归并排序是O(n^2)的
例子
- 以主导做用的为准：
O( nlogn + n ) = O( nlogn )bash
O( nlogn + n^2 ) = O( n^2 )微信
- 上面的公式要求算法处理的n是同样的（O( AlogA + B ) 、O( AlogA + B^2 )）
- 上面这种不能省略
- 对邻接表实现的图进行遍历：
- 时间复杂度：O( V + E ) V是顶点个数，E是边的个数。
- 稠密图，甚至彻底图。E是近乎V^2级别。
一个时间复杂度的问题
有一个字符串数组，将数组中的每个字符串按照字母序排序；以后再将整个字符串数组按照字典序排序。整个操做的时间复杂度？dom
- 每一个字符串n*nlogn + 整个字符串数组：nlogn
- 错误字符串的长度和数组长度混淆
假设最长的字符串长度为s；数组中有n个字符串
对每一个字符串排序：O(slogs)
将数组中的每个字符串按照字母序排序：O(n*slog(s))函数
-
将整个字符串数组按照字典序排序：O(s*nlog(n))测试
- 解释：对于排序算法时间复杂度理解：
- nlogn 是 比较的次数。对整型数组排序只须要nlogn次比较。
- 由于两个整数之间比较O(1)。两个字符串比较不同O(s)。
-
O(nslog(s)) + O(snlog(n)) = O( nslogs + snlogn )= O( ns(logs+logn) )优化
-
字符串数组进行字典序排序。比较nlogn次，每次比较须要O(s)时间复杂度。
算法复杂度在有些状况是用例相关的
插入排序算法 O(n^2)
- 最差状况：O(n^2)
- 最好状况：O(n)：近乎有序
- 平均状况：O(n^2)
快速排序算法 O(nlogn)
- 最差状况：O(n^2) 不随机。有序
- 最好状况：O(nlogn) 随机化标定点
- 平均状况：O(nlogn)
严谨算法最好最差平均。咱们常常关注的是大多数。
极端状况内心有数就好了。
数据规模的概念
对 10^5 的数据进行选择排序，结果计算机假死？
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <ctime>
using namespace std;
int main() {
// 数据规模每次增大10倍进行测试
// 有兴趣的同窗也能够试验一下数据规模每次增大2倍哦:)
for( int x = 1 ; x <= 9 ; x ++ ){
int n = pow(10, x);
clock_t startTime = clock();
long long sum = 0;
for( int i = 0 ; i < n ; i ++ )
sum += i;
clock_t endTime = clock();
cout << "sum = " << sum << endl;
cout << "10^" << x << " : "
<< double(endTime - startTime)/CLOCKS_PER_SEC
<< " s" << endl << endl;
}
return 0;
}
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运行结果
sum = 45
10^1 : 2e-06 s
sum = 4950
10^2 : 1e-06 s
sum = 499500
10^3 : 4e-06 s
sum = 49995000
10^4 : 2.9e-05 s
sum = 4999950000
10^5 : 0.000305 s
sum = 499999500000
10^6 : 0.003049 s
sum = 49999995000000
10^7 : 0.029234 s
sum = 4999999950000000
10^8 : 0.308056 s
sum = 499999999500000000
10^9 : 2.98528 s
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若是要想在1s以内解决问题
- O(n^2)的算法能够处理大约10^4级别的数据；
- O(n)的算法能够处理大约10^8级别的数据；
- O(nlogn)的算法能够处理大约10^7级别的数据
由于咱们刚才的操做很简单，就是简单的加法。因此正常还须要低估一点,再除以10
空间复杂度
- 多开一个辅助的数组：O(n)
- 多开一个辅助的二维数组：O(n^2)
- 多开常数空间：O(1):原地数组排序
- 递归调用是有空间代价的：
- 在递归调用前的函数压入系统栈中的。
常见的复杂度分析
O(1)
没有数据规模的变化
// O(1)
void swapTwoInts( int &a , int &b ){
int temp = a;
a = b;
b = temp;
return;
}
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O(n)
循环操做次数为c.n。c是个常数不必定为大于1的数
// O(n) Time Complexity
int sum( int n ){
int ret = 0;
for( int i = 0 ; i <= n ; i ++ )
ret += i;
return ret;
}
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O(n)
循环次数为1/2 * n次
字符串翻转。abc-cba.第一个和倒数第一个。第2个和倒数第二个
扫描一半就交换完了：1/2*n次swap操做：O(n)
void reverse( string &s ){
int n = s.size();
for( int i = 0 ; i < n/2 ; i ++ )
swap( s[i] , s[n-1-i] );
return;
}
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O(n^2)
选择排序法。O(n^2)
双重循环: 第一重到n。第二重到n。都是+1.
所执行的指令数和n^2成比例。
i = 0;j执行了n-1次 等差数列求和
(n-1) + (n-2) + (n-3) + … + 0
= (0+n-1)*n/2
= (1/2)n*(n-1)
= 1/2*n^2 - 1/2*n
= O(n^2)
// O(n^2) Time Complexity
void selectionSort(int arr[], int n){
for(int i = 0 ; i < n ; i ++){
int minIndex = i;
for( int j = i + 1 ; j < n ; j ++ )
if( arr[j] < arr[minIndex] )
minIndex = j;
swap( arr[i] , arr[minIndex] );
}
}
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30n次基本操做：O(n)
由于第二层循环是固定的不受n影响的。
// O(n) Time Complexity
void printInformation(int n){
for( int i = 1 ; i <= n ; i ++ )
for( int j = 1 ; j <= 30 ; j ++ )
cout<<"Class "<<i<<" - "<<"No. "<<j<<endl;
return;
}
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o(logn)
对有序数组找到中间元素来判断元素和中间元素的关系。
若是没有查找到，均可以扔掉一半的元素。
二分查找法
// O(logn) Time Complexity
int binarySearch(int arr[], int n, int target){
int l = 0, r = n-1;
while( l <= r ){
int mid = l + (r-l)/2;
if( arr[mid] == target ) return mid;
if( arr[mid] > target ) r = mid - 1;
else l = mid + 1;
}
return -1;
}
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O(logn)
n通过几回“除以10”操做后，等于0？
log10n = O(logn)
while循环中每次除以10，直到0结束。
reverse(s)复杂度：1/2 n次的交换操做。s字符串有多少位，与n一致。
string intToString( int num ){
string s = "";
string sign = "+";
if( num < 0 ){
num = -num;
sign = "-";
}
while( num ){
s += '0' + num%10;
num /= 10;
}
if( s == "" )
s = "0";
reverse(s);
if( sign == "-" )
return sign + s;
else
return s;
}
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O(nlogn)
第二重循环就是n
第一重size+=size就是乘以2.log2n
// O(nlogn)
void hello(int n){
for( int sz = 1 ; sz < n ; sz += sz )
for( int i = 1 ; i < n ; i ++ )
cout<<"Hello, Algorithm!"<<endl;
}
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O(sqrt(n))
x从n走一直走到根号n结束
// O(sqrt(n)) Time Complexity
bool isPrime( int num ){
for( int x = 2 ; x*x <= num ; x ++ )
if( num%x == 0 )
return false;
return true;
}
bool isPrime2( int num ){
if( num <= 1 ) return false;
if( num == 2 ) return true;
if( num%2 == 0 ) return false;
for( int x = 3 ; x*x <= num ; x += 2 )
if( num%x == 0 )
return false;
return true;
}
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复杂度实验。
咱们自觉得写出了一个O(nlogn)的算法，但实际是O(n^2)的算法？
若是要想在1s以内解决问题：
- O(n2)的算法能够处理大约10^4级别的数据；
- O(n)的算法能够处理大约10^8级别的数据；
- O(nlogn)的算法能够处理大约10^7级别的数据
前面的常数差距有可能很大。
实验，观察趋势：
每次将数据规模提升两倍，看时间的变化
四个不一样复杂度的算法。
namespace MyAlgorithmTester{
// O(logN)
int binarySearch(int arr[], int n, int target){
int l = 0, r = n-1;
while( l <= r ){
int mid = l + (r-l)/2;
if( arr[mid] == target ) return mid;
if( arr[mid] > target ) r = mid - 1;
else l = mid + 1;
}
return -1;
}
// O(N)
int findMax( int arr[], int n ){
assert( n > 0 );
int res = arr[0];
for( int i = 1 ; i < n ; i ++ )
if( arr[i] > res )
res = arr[i];
return res;
}
// O(NlogN) 自底向上
void __merge(int arr[], int l, int mid, int r, int aux[]){
for(int i = l ; i <= r ; i ++)
aux[i] = arr[i];
int i = l, j = mid+1;
for( int k = l ; k <= r; k ++ ){
if( i > mid ) { arr[k] = aux[j]; j ++;}
else if( j > r ){ arr[k] = aux[i]; i ++;}
else if( aux[i] < aux[j] ){ arr[k] = aux[i]; i ++;}
else { arr[k] = aux[j]; j ++;}
}
}
void mergeSort( int arr[], int n ){
int *aux = new int[n];
for( int i = 0 ; i < n ; i ++ )
aux[i] = arr[i];
for( int sz = 1; sz < n ; sz += sz )
for( int i = 0 ; i < n ; i += sz+sz )
__merge(arr, i, i+sz-1, min(i+sz+sz-1,n-1), aux );
delete[] aux;
return;
}
// O(N^2) 选择排序
void selectionSort( int arr[], int n ){
for(int i = 0 ; i < n ; i ++){
int minIndex = i;
for( int j = i + 1 ; j < n ; j ++ )
if( arr[j] < arr[minIndex] )
minIndex = j;
swap( arr[i] , arr[minIndex] );
}
return;
}
}
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生成测试用例的代码：
namespace MyUtil {
int *generateRandomArray(int n, int rangeL, int rangeR) {
assert( n > 0 && rangeL <= rangeR );
int *arr = new int[n];
srand(time(NULL));
for (int i = 0; i < n; i++)
arr[i] = rand() % (rangeR - rangeL + 1) + rangeL;
return arr;
}
int *generateOrderedArray(int n) {
assert( n > 0 );
int *arr = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++)
arr[i] = i;
return arr;
}
}
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测试是否是O(n)级别的
int main() {
// 数据规模倍乘测试findMax
// O(n)
cout<<"Test for findMax:"<<endl;
for( int i = 10 ; i <= 26 ; i ++ ){
int n = pow(2,i);
int *arr = MyUtil::generateRandomArray(n, 0, 100000000);
clock_t startTime = clock();
MyAlgorithmTester::findMax(arr, n);
clock_t endTime = clock();
cout<<"data size 2^"<<i<<" = "<<n<<"\t";
cout<<"Time cost: "<<double(endTime - startTime)/CLOCKS_PER_SEC<<endl;
delete[] arr;
}
return 0;
}
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运行结果：
Test for findMax:
data size 2^10 = 1024 Time cost: 5e-06 s
data size 2^11 = 2048 Time cost: 7e-06 s
data size 2^12 = 4096 Time cost: 1.2e-05 s
data size 2^13 = 8192 Time cost: 2.5e-05 s
data size 2^14 = 16384 Time cost: 4.7e-05 s
data size 2^15 = 32768 Time cost: 9.2e-05 s
data size 2^16 = 65536 Time cost: 0.000169 s
data size 2^17 = 131072 Time cost: 0.000431 s
data size 2^18 = 262144 Time cost: 0.000737 s
data size 2^19 = 524288 Time cost: 0.001325 s
data size 2^20 = 1048576 Time cost: 0.002489 s
data size 2^21 = 2097152 Time cost: 0.005739 s
data size 2^22 = 4194304 Time cost: 0.011373 s
data size 2^23 = 8388608 Time cost: 0.019566 s
data size 2^24 = 16777216 Time cost: 0.040289 s
data size 2^25 = 33554432 Time cost: 0.095169 s
data size 2^26 = 67108864 Time cost: 0.201682 s
data size 2^27 = 134217728 Time cost: 0.330673 s
data size 2^28 = 268435456 Time cost: 0.750136 s
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n增长了两倍。时间也大体增长两倍，因此该算法为O(n)级别的。
测试是否是O(n^2)
int main() {
// 数据规模倍乘测试selectionSort
// O(n^2)
cout<<"Test for selectionSort:"<<endl;
for( int i = 10 ; i <= 15 ; i ++ ){
int n = pow(2,i);
int *arr = MyUtil::generateRandomArray(n, 0, 100000000);
clock_t startTime = clock();
MyAlgorithmTester::selectionSort(arr,n);
clock_t endTime = clock();
cout<<"data size 2^"<<i<<" = "<<n<<"\t";
cout<<"Time cost: "<<double(endTime - startTime)/CLOCKS_PER_SEC<<endl;
delete[] arr;
}
return 0;
}
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运行结果：大约4倍
Test for Selection Sort:
data size 2^10 = 1024 Time cost: 0.001581 s
data size 2^11 = 2048 Time cost: 0.006221 s
data size 2^12 = 4096 Time cost: 0.021913 s
data size 2^13 = 8192 Time cost: 0.081103 s
data size 2^14 = 16384 Time cost: 0.323263 s
data size 2^15 = 32768 Time cost: 1.32474 s
data size 2^16 = 65536 Time cost: 5.19642 s
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数据量n增长了2倍。时间增长了4倍。
测试是否是O(logN)
int main() {
// 数据规模倍乘测试binarySearch
// O(logn)
cout<<"Test for binarySearch:"<<endl;
for( int i = 10 ; i <= 28 ; i ++ ){
int n = pow(2,i);
int *arr = MyUtil::generateOrderedArray(n);
clock_t startTime = clock();
MyAlgorithmTester::binarySearch(arr,n,0);
clock_t endTime = clock();
cout<<"data size 2^"<<i<<" = "<<n<<"\t";
cout<<"Time cost: "<<double(endTime - startTime)/CLOCKS_PER_SEC<<endl;
delete[] arr;
}
return 0;
}
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复杂度试验
log2N / logN
= (log2 + logN)/logN
= 1 + log2/logN
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当数据规模变大两倍。运行效率增长1.几倍。
运行结果：
Test for Binary Search:
data size 2^10 = 1024 Time cost: 1e-06 s
data size 2^11 = 2048 Time cost: 0 s
data size 2^12 = 4096 Time cost: 0 s
data size 2^13 = 8192 Time cost: 2e-06 s
data size 2^14 = 16384 Time cost: 1e-06 s
data size 2^15 = 32768 Time cost: 1e-06 s
data size 2^16 = 65536 Time cost: 1e-06 s
data size 2^17 = 131072 Time cost: 2e-06 s
data size 2^18 = 262144 Time cost: 3e-06 s
data size 2^19 = 524288 Time cost: 1e-06 s
data size 2^20 = 1048576 Time cost: 4e-06 s
data size 2^21 = 2097152 Time cost: 3e-06 s
data size 2^22 = 4194304 Time cost: 3e-06 s
data size 2^23 = 8388608 Time cost: 4e-06 s
data size 2^24 = 16777216 Time cost: 4e-06 s
data size 2^25 = 33554432 Time cost: 1.2e-05 s
data size 2^26 = 67108864 Time cost: 9e-06 s
data size 2^27 = 134217728 Time cost: 1.1e-05 s
data size 2^28 = 268435456 Time cost: 2.4e-05 s
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运行结果，变化小
顺序查找转换为二分查找，大大提升效率
测试是否是O(NlogN)
和O(N)差很少
int main() {
// 数据规模倍乘测试mergeSort
// O(nlogn)
cout<<"Test for mergeSort:"<<endl;
for( int i = 10 ; i <= 24 ; i ++ ){
int n = pow(2,i);
int *arr = MyUtil::generateRandomArray(n,0,1<<30);
clock_t startTime = clock();
MyAlgorithmTester::mergeSort(arr,n);
clock_t endTime = clock();
cout<<"data size 2^"<<i<<" = "<<n<<"\t";
cout<<"Time cost: "<<double(endTime - startTime)/CLOCKS_PER_SEC<<endl;
delete[] arr;
}
return 0;
}
复制代码
运行结果：
Test for Merge Sort:
data size 2^10 = 1024 Time cost: 0.000143 s
data size 2^11 = 2048 Time cost: 0.000325 s
data size 2^12 = 4096 Time cost: 0.000977 s
data size 2^13 = 8192 Time cost: 0.001918 s
data size 2^14 = 16384 Time cost: 0.003678 s
data size 2^15 = 32768 Time cost: 0.007635 s
data size 2^16 = 65536 Time cost: 0.015768 s
data size 2^17 = 131072 Time cost: 0.034462 s
data size 2^18 = 262144 Time cost: 0.069586 s
data size 2^19 = 524288 Time cost: 0.136214 s
data size 2^20 = 1048576 Time cost: 0.294626 s
data size 2^21 = 2097152 Time cost: 0.619943 s
data size 2^22 = 4194304 Time cost: 1.37317 s
data size 2^23 = 8388608 Time cost: 2.73054 s
data size 2^24 = 16777216 Time cost: 5.60827 s
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大约两倍
递归算法的复杂度分析
- 不是有递归的函数就必定是O(nlogn)!
二分查找的递归实现：
左半边或者右半边。不管选那边都只进行一次
每次减半，递归调用的深度为logn，处理问题的复杂度为O(1)
// binarySearch
int binarySearch(int arr[], int l, int r, int target){
if( l > r )
return -1;
int mid = l + (r-l)/2;
if( arr[mid] == target )
return mid;
else if( arr[mid] > target )
return binarySearch(arr, l, mid-1, target);
else
return binarySearch(arr, mid+1, r, target);
}
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若是递归函数中，只进行一次递归调用，
递归深度为depth;
在每一个递归函数中，时间复杂度为T;
则整体的时间复杂度为O( T * depth )
求和递归实现
递归深度：n
时间复杂度：O(n)
// sum
int sum( int n ){
assert( n >= 0 );
if( n == 0 )
return 0;
return n + sum(n-1);
}
复制代码
计算x的n次方的幂运算
// pow2
double pow( double x, int n ){
assert( n >= 0 );
if( n == 0 )
return 1.0;
double t = pow(x, n/2);
//奇数
if( n%2 )
return x*t*t;
return t*t;
}
复制代码
递归深度：logn
时间复杂度：O(logn)
递归中进行屡次递归调用
递归树的深度是N
2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + … + 2^n
= 2n+1 - 1
= O(2^n)
指数级的算法：很是慢。n在20左右。30就很是慢 剪枝操做：动态规划。人工智能：搜索树
// f
int f(int n){
assert( n >= 0 );
if( n == 0 )
return 1;
return f(n-1) + f(n-1);
}
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归并排序n=8
树的深度是logN 当n等于8时，层数为3层。每一层处理的数据规模愈来愈小
一个分红logn层。每一层相加的整体规模仍是n
// mergeSort
void mergeSort(int arr[], int l, int r){
if( l >= r )
return;
int mid = (l+r)/2;
mergeSort(arr, l, mid);
mergeSort(arr, mid+1, r);
merge(arr, l, mid, r);
}
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均摊复杂度分析 Amortized Time analysis
一个算法复杂度相对较高，可是它是为了方便其余的操做。
比较高的会均摊到总体。
动态数组（Vector）
template <typename T>
class MyVector{
private:
T* data;
int size; // 存储数组中的元素个数
int capacity; // 存储数组中能够容纳的最大的元素个数
// O(n)：一重循环。
void resize(int newCapacity){
assert( newCapacity >= size );
T *newData = new T[newCapacity];
for( int i = 0 ; i < size ; i ++ )
newData[i] = data[i];
delete[] data;
data = newData;
capacity = newCapacity;
}
public:
MyVector(){
data = new T[100];
size = 0;
capacity = 100;
}
~MyVector(){
delete[] data;
}
// Average: O(1)
void push_back(T e){
//动态数组
if( size == capacity )
resize( 2* capacity );
data[size++] = e;
}
// O(1)
T pop_back(){
assert( size > 0 );
size --;
//size是从0开始的。也就是0号索引size为1.
//因此要拿到最后一个元素，就得size-1
return data[size];
}
};
复制代码
均摊
第n+1次会花费O(n)可是会把这n分摊到前面n次操做。也就是变成了O(2)
仍是常数O(1)级的。
resize是有条件的，而不是每次都调用。
int main() {
for( int i = 10 ; i <= 26 ; i ++ ){
int n = pow(2,i);
clock_t startTime = clock();
MyVector<int> vec;
for( int i = 0 ; i < n ; i ++ ){
vec.push_back(i);
}
clock_t endTime = clock();
cout<<n<<" operations: \t";
cout<<double(endTime - startTime)/CLOCKS_PER_SEC<<" s"<<endl;
}
return 0;
}
复制代码
1024 operations: 2.5e-05 s
2048 operations: 2.9e-05 s
4096 operations: 7.4e-05 s
8192 operations: 0.000154 s
16384 operations: 0.000265 s
32768 operations: 0.000391 s
65536 operations: 0.001008 s
131072 operations: 0.002006 s
262144 operations: 0.003863 s
524288 operations: 0.005842 s
1048576 operations: 0.014672 s
2097152 operations: 0.029367 s
4194304 operations: 0.06675 s
8388608 operations: 0.124446 s
16777216 operations: 0.240025 s
33554432 operations: 0.486061 s
67108864 operations: 0.960224 s
复制代码
基本知足2倍关系
删除元素缩小空间。
每次普通删除时间复杂度都为O(1)
只剩下n个。此次resize n 删除这个元素为1
重复这个过程，没法均摊，复杂度为O(n)
当元素个数为数组容量的1/4时，resize.为再添加元素留出余地
template <typename T>
class MyVector{
private:
T* data;
int size; // 存储数组中的元素个数
int capacity; // 存储数组中能够容纳的最大的元素个数
// O(n)
void resize(int newCapacity){
assert( newCapacity >= size );
T *newData = new T[newCapacity];
for( int i = 0 ; i < size ; i ++ )
newData[i] = data[i];
delete[] data;
data = newData;
capacity = newCapacity;
}
public:
MyVector(){
data = new T[100];
size = 0;
capacity = 100;
}
~MyVector(){
delete[] data;
}
// Average: O(1)
void push_back(T e){
if( size == capacity )
resize( 2* capacity );
data[size++] = e;
}
// Average: O(1)
T pop_back(){
assert( size > 0 );
T ret = data[size-1];
size --;
if( size == capacity/4 )
resize( capacity/2 );
//resize以后会把data[size]元素抹掉
return ret;
}
};
复制代码
运行结果
2048 operations: 4.3e-05 s
4096 operations: 6.3e-05 s
8192 operations: 0.000107 s
16384 operations: 0.000316 s
32768 operations: 0.000573 s
65536 operations: 0.001344 s
131072 operations: 0.001995 s
262144 operations: 0.004102 s
524288 operations: 0.008599 s
1048576 operations: 0.014714 s
2097152 operations: 0.027181 s
4194304 operations: 0.063136 s
8388608 operations: 0.126046 s
16777216 operations: 0.242574 s
33554432 operations: 0.456381 s
67108864 operations: 0.96618 s
134217728 operations: 1.76422 s
复制代码
均摊复杂度
- 动态数组
- 动态栈
- 动态队列
-------------------------华丽的分割线--------------------
看完的朋友能够点个喜欢/关注，您的支持是对我最大的鼓励。
想了解更多，欢迎关注个人微信公众号：番茄技术小栈
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