刚体转动的稳定性

　　若定点运动的刚体所受外力对固定点O的主矩$T=0$，则这种状况称为刚体定点运动的欧拉状况，相应的刚体常称为欧拉陀螺。刚体自由转动时外力矩为零，所以角动量守恒，角动量平方也守恒，即：$$L^2=I^2_1\omega^2_x+I^2_2\omega^2_y+I^2_3\omega^2_z=常数$$

　　同时它的能量也守恒：$$E=\frac{1}{2}(I_1\omega^2_x+I_2\omega^2_y+I_3\omega^2_z)=常数$$

　　刚体转动的稳定性是讨论什么条件下刚体的角速度不随时间变化。显然，只有外力矩为零时才有可能，即只有欧拉陀螺才谈得上转动的稳定性。假设刚体惯性矩各不相同，即$I_{zz}>I_{yy}>I_{xx}$，若是刚体在没有外力矩做用下绕其惯性主轴自由转动，在发生微小扰动的状况下转动稳定性是怎样的呢？设刚体初始时刻绕X轴旋转，则角速度能够表达为$\mathbf{\omega}=\omega_x \mathbf{e_x}$，$\mathbf{e_x}$是X轴基向量。在刚体上施加一点微小的扰动，其角速度变为$$\mathbf{\omega}=\omega_x \mathbf{e_x}+\lambda \mathbf{e_y}+\mu\mathbf{e_z}$$

　　$\lambda$和$\mu$都是很小的量，将角速度带入欧拉方程可获得：$$I_{xx}\dot{\omega}_x-(I_{yy}-I_{zz})\lambda\mu=0\\I_{yy}\dot{\lambda}-(I_{zz}-I_{xx})\omega_x\mu=0 \\I_{zz}\dot{\mu}-(I_{xx}-I_{yy})\omega_x\lambda=0$$

　　$\lambda\mu$是二阶小的量，所以在方程中能够忽略。所以从上面第一个方程中能够获得X轴角加速度为零，即$\omega_x$近似是恒定值。其余两个方程能够写为：$$\dot{\lambda}=[\frac{(I_{zz}-I_{xx})\omega_x}{I_{yy}}]\mu\\ \dot{\mu}=-[\frac{(I_{yy}-I_{xx})\omega_x}{I_{zz}}]\lambda$$

　　对上面第一个等式两边对时间求导后带入第二个等式中，消除$\dot{\mu}$可获得一个关于$\lambda$的二阶常系数齐次线性微分方程：$$\ddot{\lambda}+[\frac{(I_{yy}-I_{xx})(I_{zz}-I_{xx})}{I_{yy}I_{zz}}]\omega^2_x\lambda=0$$

 　　显然$\mu$也知足上面的微分方程。根据以前惯性矩大小的设定，方程中方括号的那一项为正值，所以根据二阶常系数齐次线性方程判别式的符号（$\Delta=p^2-4q<0$）可知其通解为：$$\lambda=\lambda_0cos(\Omega_xt-\alpha)$$

　　其中，$\lambda_0$和$\alpha$是常数，且有：$$\Omega_x=[\frac{(I_{yy}-I_{xx})(I_{zz}-I_{xx})}{I_{yy}I_{zz}}]^{1/2}\omega_x$$

　　从微分方程的解能够看出，刚体会以角频率$\Omega_x$绕其初始状态作正弦振荡。即刚体绕其X轴旋转时，转动在微小扰动的做用下是稳定的，由于扰动角速度$\lambda$的幅值不随着时间增加而放大发散。

　　若是刚体初始时刻绕着Z轴旋转，并施加了一个微小的扰动。这时情形与绕X轴旋转相似，咱们能够写出振荡的角频率：$$\Omega_z=[\frac{(I_{zz}-I_{xx})(I_{zz}-I_{yy})}{I_{xx}I_{yy}}]^{1/2}\omega_z$$

　　所以，刚体绕Z轴旋转时对微小扰动也是稳定的。

　　假设刚体绕Y轴旋转，即绕中间惯量轴旋转，受到微小扰动：$\mathbf{\omega}=\lambda \mathbf{e_x}+\omega_y \mathbf{e_y}+\mu\mathbf{e_z}$，容易证实$\lambda$知足下面的微分方程：$$\ddot{\lambda}-[\frac{(I_{yy}-I_{xx})(I_{zz}-I_{yy})}{I_{xx}I_{zz}}]\omega^2_y\lambda=0$$

　　该微分方程的通解为：$$\lambda=Ae^{kt}+Be^{-kt}$$

　　其中A，B为常数，且有：$$k=[\frac{(I_{yy}-I_{xx})(I_{zz}-I_{yy})}{I_{xx}I_{zz}}]^{1/2}\omega_y$$

　　这种状况下扰动角速度的幅值随着时间指数增加，转动稳定性被破坏。所以刚体绕Y轴旋转时对微小扰动不稳定。

　　结论：若是欧拉状况下刚体惯性主轴的三个转动惯量不相同，则绕最大和最小转动惯量对应的轴的旋转是稳定的，绕中间轴的旋转是不稳定的。若是其中有两个转动惯量相同，则能够证实刚体只有绕不一样的那个轴旋转是稳定的。好比$I_{xx}=I_{yy}\neq I_{zz}$，则只有绕Z轴的转动是稳定的。

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 　　在SIMPACK动力学仿真软件中设置立方体的惯性张量为$I=diag(1,2,3)$，删除约束和重力并添加初始条件（Initial Conditions），让刚体主要绕Z轴旋转，角速度为1rad/s，X轴和Y轴扰动角速度设为0.1rad/s

　　　　在求解器设置中将积分时间改成60s，开始在线/离线仿真：

　　从结果的角速度曲线图能够看出在有微小扰动时刚体绕转动惯量最大的轴旋转是稳定的：

　　将初始角速度设为1,0.1,0.1，即主要绕X轴旋转，积分时间设为200s，仿真结果以下。能够看出在有微小扰动时刚体绕转动惯量最小的轴旋转是稳定的：

　　 将初始角速度设为0.1,1,0.1，即主要绕Y轴旋转，积分时间设为200s，仿真结果以下。能够看出绕Y轴的转动不稳定：

 

 

参考：

Rotational Stability

关于刚体转动稳定性的研究

物理引擎中的刚体动力学

刚体质量分布与牛顿-欧拉方程

Gyroscope Physics

Gyroscopic forces in ODE

YouTube Gyroscopic forces in ODE

Game Physics-Numerical Integration

Free rotation of a rigid body animation

Integration Basics-How to integrate the equations of motion

Accurate and Efficient Simulation of Rigid Body Rotations

Stabilizing Gyroscopic Forces in Rigid Multibody Simulations