坐标变换(5)—用旋转轴和旋转角表示旋转

任何旋转，都可以用一个旋转轴 $\hat \omega$ω^和一个旋转角 $\theta$θ来描述。

1. 坐标系的线速度和角速度

如上图，在旋转的刚体上，附加一个body frame $\{b\}${b}，记为 $\{\hat{x},\hat{y},\hat{z}\}${x^,y^​,z^}。对于三个轴而言，绕着 $\hat \omega$ω^旋转的轨迹为圆。当然，上述坐标轴 $\{\hat{x},\hat{y},\hat{z}\}${x^,y^​,z^}和 $\hat \omega$ω^是在fixed frame $\{S\}${S}坐标系下的，下面将 $\hat \omega$ω^记为 $\hat \omega_s$ω^s​，

绕着轴 $\hat \omega$ω^的角速度为，
$w_s=\hat{w}\dot{\theta} \tag{1}$ws​=w^θ˙(1)
运动的线速度记为 $\dot{\hat{x}}$x^˙，三个轴的线速度则为，
$\begin{aligned} \dot{\hat{x}}&=w_s \times \hat{x} \\ \dot{\hat{y}}&=w_s \times \hat{y} \\ \dot{\hat{z}}&=w_s \times \hat{z} \end{aligned} \tag{2}$x^˙y^​˙​z^˙​=ws​×x^=ws​×y^​=ws​×z^​(2)
将三个轴的线速度统一写为，
$\dot{R}= \begin{bmatrix} w_s \times \hat{x} & w_s \times \hat{y} & w_s \times \hat{z} \end{bmatrix}=w_s \times R \tag{3}$R˙=[ws​×x^​ws​×y^​​ws​×z^​]=ws​×R(3)
为了简化公式(3)中的叉乘，特引入了 $[]$[]符号，将 $w \times R$w×R可以记为矩阵的乘法 $[w]R$[w]R，其中 $[w]$[w]的定义如下：
对于 $\mathbb{R}^3$R3中的向量 $x=\begin{bmatrix}x_1 & x_2 &x_3\end{bmatrix}$x=[x1​​x2​​x3​​],定义 $[x]$[x]为一个反对称矩阵，
$[x]=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -x_{3} & x_{2} \\ x_{3} & 0 & -x_{1} \\ -x_{2} & x_{1} & 0 \end{array}\right]\tag{4}$[x]=⎣⎡​0x3​−x2​​−x3​0x1​​x2​−x1​0​⎦⎤​(4)
$[x]=-[x]^T \tag{5}$[x]=−[x]T(5)
上述所有 $3 \times 3$3×3的反对称矩阵统称为 $so(3)$so(3)，小的。前面说过，旋转矩阵属于 $SO(3)$SO(3)，大的。下面有一个两者结合起来有趣的性质，假定 $r_i^T$riT​为 $R$R的第 $i$i行，即 $r_i$ri​是 $R^T$RT的第 $i$i列，则
$\begin{aligned} R[w]R^T &= R\begin{bmatrix} w_s\times r_1 & w_s\times r_2 &w_s\times r_3 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} r_1^{T}(w_s\times r_1) & r_1^T(w_s\times r_2) & r_1^T (w_s\times r_3) \\ r_2^{T}(w_s\times r_1) & r_2^T(w_s\times r_2) & r_2^T (w_s\times r_3) \\ r_3^{T}(w_s\times r_1) & r_3^T(w_s\times r_2) & r_3^T (w_s\times r_3) \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & -r_3^Tw_s & r_2^Tw_s\\ r_3^Tw_s & 0 &-r_1^Tw_s\\ -r_2^Tw_s&r_1^Tw_s&0 \end{bmatrix}\\ &=[Rw_s] \end{aligned} \tag{6}$R[w]RT​=R[ws​×r1​​ws​×r2​​ws​×r3​​]=⎣⎡​r1T​(ws​×r1​)r2T​(ws​×r1​)r3T​(ws​×r1​)​r1T​(ws​×r2​)r2T​(ws​×r2​)r3T​(ws​×r2​)​r1T​(ws​×r3​)r2T​(ws​×r3​)r3T​(ws​×r3​)​⎦⎤​=⎣⎡​0r3T​ws​−r2T​ws​​−r3T​ws​0r1T​ws​​r2T​ws​−r1T​wT​ws​−r2T​ws​​−r3T​ws​0r1T​ws​​r2T​ws​−r1T​ws​0​⎦⎤​=[Rws​]​(6)

对于(6)中矩阵中的 $r_1^{T}(w_s\times r_2)$r1T​(ws​span>​ws​​−r3T​ws​0r1T​ws​​r2T​ws​−r1T​ws​0​⎦⎤​=[Rws​]​(6)

对于(6)中矩阵中的 $r_1^{T}(w_s\times r_2)$r1T​(ws​×r 3 T​ws​0