7.6 最小生成树

 

生成树和最小生成树均是在无向连通图中进行的。

生成树：含有连通图的所有节点n，且含有n-1条边。一个连通图能够有多个生成树。

最小生成树：是基于带权的无向连通图，根据权值，按必定规则，代价最小的生成树为最小生成树。

找最小生成树，经典的两种算法，普利姆算法和克鲁斯卡尔算法。

一、普利姆（Prim）算法

        最小生成树是数据结构中图的一种重要应用，它的要求是从一个带权无向彻底图中选择n－1条边并使这个图仍然连通（也即获得了一棵生成树）,同时还要考虑使树的权最小。 为了获得最小生成树，人们设计了不少算法，最著名的有prim算法和kruskal算法。教材中介绍了prim算法，可是讲得不够详细，理解起来比较困难，为了帮助你们更好的理解这一算法，本文对书中的内容做了进一步的细化，但愿能对你们有所帮助。

 

        假设V是图中顶点的 集合，E是图中边的集合，TE为最小生成树中的边的集合，则prim算法经过如下步骤能够获得最小生成树：

1：初始化：U={u 0},TE={f}。此步骤设立一个只有结点u 0的结点集U和一个空的边集TE做为最小生成树的初始形态，在随后的算法执行中，这个形态会不断的发生变化，直到获得最小生成树为止。

2：在全部u∈U,v∈V－U的边（u,v）∈E中，找一条权最小的边（u 0,v 0），将此边加进集合TE中，并将此边的非U中顶点加入U中。此步骤的功能是在边集E中找一条边，要求这条边知足如下条件：首先边的两个顶点要分别在顶点集合U和V－U中，其次边的权要最小。找到这条边之后，把这条边放到边集TE中，并把这条边上不在U中的那个顶点加入到U中。这一步骤在算法中应执行屡次，每执行一次，集合TE和U都将发生变化，分别增长一条边和一个顶点，所以，TE和U是两个动态的集合，这一点在理解算法时要密切注意。

3：若是U=V，则算法结束；不然重复步骤2。能够把本步骤当作循环终止条件。咱们能够算出当U=V时，步骤2共执行了n－1次（设n为图中顶点的数目），TE中也增长了n－1条边，这n－1条边就是须要求出的最小生成树的边。

二、克鲁斯卡尔（Kruskal）算法

        求加权 连通图的最小生成树的算法。kruskal 算法每次选择n- 1条边，所使用的贪婪准则是：从剩下的边中选择一条不会产生 环路的具备最小耗费的边加入已选择的边的集合中。注意到所选取的边若产生环路则不可能造成一棵生成树。kruskal算法分e 步，其中e 是网络中边的数目。按耗费递增的顺序来考虑这e 条边，每次考虑一条边。当考虑某条边时，若将其加入到已选边的集合中会出现环路，则将其抛弃，不然，将它选入。

克鲁斯卡尔算法

假设 WN=(V,{E}) 是一个含有 n 个顶点的连通网，则按照克鲁斯卡尔算法构造 最小生成树的过程为：先构造一个只含 n 个顶点，而边集为空的子图，若将该子图中各个顶点当作是各棵树上的根结点，则它是一个含有 n 棵树的一个森林。以后，从网的边集 E 中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不一样的树，则将其加入子图，也就是说，将这两个顶点分别所在的两棵树合成一棵树；反之，若该条边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推，直至森林中只有一棵树，也即子图中含有 n-1条边为止。

举例：

克鲁斯卡尔算法(Kruskal's algorithm)是两个经典的最小生成树算法的较为简单理解的一个。这里面充分体现了贪心算法的精髓。大体的流程能够用一个图来表示。这里的图的选择借用了Wikipedia上的那个。很是清晰且直观。

首先第一步，咱们有一张图，有若干点和边

以下图所示：

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第一步咱们要作的事情就是将全部的边的长度排序，用排序的结果做为咱们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序，对局部最优的资源进行选择。

排序完成后，咱们率先选择了边AD。这样咱们的图就变成了

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第二步，在剩下的边中寻找。咱们找到了CE。这里边的权重也是5

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依次类推咱们找到了6,7,7。完成以后，图变成了这个样子。

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下一步就是关键了。下面选择那条边呢？ BC或者EF吗？都不是，尽管如今长度为8的边是最小的未选择的边。可是他们已经连通了（对于BC能够经过CE,EB来链接，相似的EF能够经过EB,BA,AD,DF来接连）。因此咱们不须要选择他们。相似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。

最后就剩下EG和FG了。固然咱们选择了EG。最后成功的图就是下图：

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到这里全部的边点都已经连通了，一个最小生成树构建完成。

Kruskal算法的时间复杂度由排序算法决定，若采用快排则时间复杂度为O(N log N)。