最小生成树

关于图的几个概念定义：

• 连通图：在无向图中，若任意两个顶点vivi与vjvj都有路径相通，则称该无向图为连通图。
• 强连通图：在有向图中，若任意两个顶点vivi与vjvj都有路径相通，则称该有向图为强连通图。
• 连通网：在连通图中，若图的边具备必定的意义，每一条边都对应着一个数，称为权；权表明着链接连个顶点的代价，称这种连通图叫作连通网。
• 生成树：一个连通图的生成树是指一个连通子图，它含有图中所有n个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。一颗有n个顶点的生成树有且仅有n-1条边，若是生成树中再添加一条边，则一定成环。
• 最小生成树：在连通网的全部生成树中，全部边的代价和最小的生成树，称为最小生成树。 
  

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下面介绍两种求最小生成树算法

1.Kruskal算法

G=(V,E)，顶点数目共n个，令最小生成树的初始状态只有n个顶点无边T=(V,TE)，TE为空集，每一个顶点自成一格连通份量。在E中选择代价最小的边，若该边依赋的两个顶点在T中不一样连通份量上，则加入该边到T中，不然舍去，选择下一条代价最小的边。直到仅有一个连通份量为止。

2.Prim算法

此算法能够称为“加点法”，每次迭代选择代价最小的边对应的点，加入到最小生成树中。算法从某一个顶点s开始，逐渐长大覆盖整个连通网的全部顶点。

1. 图G=(V,E)，T=(V,TE)是最小生成树，U是最小生成树所含的顶点集。
2. 初始，任取一顶点u加入U，U={u}，TE=空集。
3. 重复操做：找出U与V-U之间的一条最小边（u，v），将v加入U，U=U并{v}，边（u，v）加入TE，TE=TE并{（u，v）}，直到V=U为止。
4. 最后获得的T=(V,TE)就是G的一颗最小生成树。