数据结构与算法系列——排序(7)_堆排序 图解排序算法(三)之堆排序

1. 工做原理（定义）

　　堆排序（Heapsort）是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。堆积是一个近似彻底二叉树的结构，并同时知足堆积的性质：即子结点的键值或索引老是小于（或者大于）它的父节点。堆排序能够说是一种利用堆的概念来排序的选择排序。分为两种方法：

1. 大顶堆：每一个节点的值都大于或等于其子节点的值，在堆排序算法中用于升序排列；arr[i] >= arr[2i+1] && arr[i] >= arr[2i+2]  
2. 小顶堆：每一个节点的值都小于或等于其子节点的值，在堆排序算法中用于降序排列；arr[i] <= arr[2i+1] && arr[i] <= arr[2i+2]  

　　同时，咱们对堆中的结点按层进行编号，将这种逻辑结构映射到数组中就是下面这个样子

　　

　　该数组从逻辑上讲就是一个堆结构，咱们用简单的公式来描述一下堆的定义就是：

2. 算法步骤

1. 建立一个最大堆 H[0……n-1]；

2. 把堆首（最大值）和堆尾互换；

3. 把堆的尺寸缩小 1，并调用 shift_down(0)，目的是把新的数组顶端数据调整到相应位置；

4. 重复步骤 2，直到堆的尺寸为 1。

　　 建立最大堆（Build-Max-Heap）的做用是将一个数组改形成一个最大堆，，接受数组和堆大小两个参数，Build-Max-Heap 将自下而上的调用 Max-Heapify 来改造数组，创建最大堆【注意从非叶子节点开始】。由于 Max-Heapify 可以保证下标 i 的结点以后结点都知足最大堆的性质，因此自下而上的调用 Max-Heapify 可以在改造过程当中保持这一性质。

　　

　　堆排序（Heap-Sort）是堆排序的接口算法，Heap-Sort先调用Build-Max-Heap将数组改造为最大堆，而后将堆顶和堆底元素交换，以后将底部上升，最后从新调用Max-Heapify保持最大堆性质【由于 Max-Heapify 可以保证下标 i 的结点以后结点都知足最大堆的性质，因此自下而上的调用 Max-Heapify 可以在改造过程当中保持这一性质。】。因为堆顶元素必然是堆中最大的元素，因此一次操做以后，堆中存在的最大元素被分离出堆，重复n-1次以后，数组排列完毕。整个流程以下：

　　

3. 动画演示

4. 性能分析

1. 时间复杂度

　　堆排序的时间等于建堆和进行堆调整的时间。

　　构建最大堆大概需进行n/2 * 2 = n次比较和n/2次交换，故时间复杂度为O(n)。

　　堆调整的时间为(n - 1)*O(log2(n))。

　　堆排序的时间复杂度为O(n*logn)。

　　在最优、最坏和平均状况下，其时间复杂度为 O(n*logn)。

2. 空间复杂度

　　堆排序为就地排序，所以空间复杂度为O(1)。

3. 算法稳定性 

　　堆排序是不稳定的算法，在构建堆过程当中元素的顺序可能会发生变化。

4. 初始顺序状态

1. 比较次数：
2. 移动次数：
3. 复杂度：    
4. 排序趟数：

5. 归位

　　能归位，每一趟排序有一个元素归位。

6. 优势

6. 具体代码

// 堆排序（HeapSort）：移除位在第一个数据的根节点，并作最大堆调整的递归运算
public int[] heapSort(int[] sourceArray) { // 对 arr 进行拷贝，不改变参数内容
    int[] arr = Arrays.copyOf(sourceArray, sourceArray.length); int len = arr.length; buildMaxHeap(arr, len); 　　 // 首尾元素交换，长度减一，尾部元素最大 for (int i = len - 1; i > 0; i--) { swap(arr, 0, i); len--; heapify(arr, 0, len); } return arr; }
 // 建立最大堆（Build Max Heap）：将堆中的全部数据从新排序 private void buildMaxHeap(int[] arr, int len) {
　　 // 非叶子节点开始 for (int i = (int) Math.floor(len / 2); i >= 0; i--) { heapify(arr, i, len); } } 
// 最大堆调整（Max Heapify）：将堆的末端子节点做调整，使得子节点永远小于父节点 private void heapify(int[] arr, int i, int len) { int left = 2 * i + 1; int right = 2 * i + 2; int largest = i; if (left < len && arr[left] > arr[largest]) { largest = left;
    }
    if (right < len && arr[right] > arr[largest]) {
        largest = right;
    }
    if (largest != i) {
        swap(arr, i, largest);
        heapify(arr, largest, len);
    }
}

private void swap(int[] arr, int i, int j) {
    int temp = arr[i];
    arr[i] = arr[j];
    arr[j] = temp;
}

7. 参考网址

1. 数据结构基础学习笔记目录
2. 常见排序算法 - 堆排序 (Heap Sort)
3. 图解排序算法(三)之堆排序
4. 排序算法系列之堆排序
5. https://visualgo.net/en/sorting
6. https://www.runoob.com/w3cnote/heap-sort.html
7. https://github.com/hustcc/JS-Sorting-Algorithm