决策树算法（ID3算法详解）

1 导论–什么是决策树

本文整体阅读时长约10分钟。如果只想对决策树有个概念性的了解，建议只阅读各级标题即可。

决策树算法是一种采用树形结构解决分类问题的算法。其树形结构如下图所示，主要包含根节点，叶结点，及两者之间的中间结点，可以看出，根节点划分开始直至全部为叶结点结束。

2 决策树学习流程

2.1 特征（属性）选择

选择哪些特征作为分类的标准是决策树算法的关键，因为特征选择的好坏直接决定了分类的效果是否理理想。因此，在存在的众多特征（属性）中，如何找到与分类最相关、次相关的特征是核心。一般地，决策树算法会根据：信息增益，作为准则来进行特征的确定。即对根节点计算所有特征的信息增益，选择信息增益最大的特征作为最开始的节点特征。

2.2 决策树生成

在进行特征确定之后，就可以根据最相关属性进行分类：即从该节点出发，根据该特征的不同取值建立子节点；对每个子节点使用相同的方式生成新的子节点，直到信息增益很小或者没有特征可以选择为止。这样，决策树就生成完毕了。

2.3 决策树剪枝（防止过拟合）

决策树在生成过程中，为了尽量分类正确，节点划分过程有时会不断重复，造成分支过多，有可能会将训练样本分类太好，而泛化能力减弱，即出现过拟合。因此，有必要在决策树生成后进行剪枝处理。

3 案例实现----3种经典决策树算法

3.1 ID3算法详解

3.1.1 分类依据（增益率）

决策树是根据信息增益来进行特征选择的，信息增益定义为
$Gain(D, a)=Ent(D) - \Sigma_{v=1}^{V} \frac{|D^v|}{|D|} Ent(D^v)$Gain(D,a)=Ent(D)−Σv=1V​∣D∣∣Dv∣​Ent(Dv)
其中D为总的样本，a为属性，v为在属性a中的v类样本，信息增益越大，表明该属性对分类的相关性越大。Ent()表示信息熵（entropy），公式如下：
$Ent(D) = - \Sigma_{k=1}^{D} p_k log_2 {p_k}.$Ent(D)=−Σk=1D​pk​log2​pk​.
k表示在样本D中的第k类样本， $p_k$pk​表示第k类样本所占样本总体的概率。类比于现实中的熵，可以理解为，信息熵越小，表明纯度越高。

3.1.2 分类流程

按照第2节中决策树学习的流程，有了上述的分类依据，我们便可对根节点进行分类，其实套用公式即可。

1. 先求取每个属性a下所对应分类的信息熵 $Ent(D^v)$Ent(Dv)（此时计算的是在属性a中的所占比例），乘上此时a属性分类下各样本所占总体样本的比例并加和，随后得到 $Gain(D,a)$Gain(D,a)。
2. 然后就进一步计算 $Gain(D,b)$Gain(D,b), $Gain(D,c)$Gain(D,c)等a,b,c各属性的增益，相互比较，得到增益率最大的那个属性即作为本次的划分属性。
3. 然后在可继续分类的那个子节点下重复上述1和2的过程（此时可以不用计算上面刚确定的那个属性的增益率），一直到不可再分为止，即全部为叶结点为止。
4. 此时决策树大体就生成好了，结合验证集，通过剪枝或后剪枝法对一些节点进行剪枝操作。然而，预剪枝预防过拟合，却带来了欠拟合风险；后剪枝则在决策树完全生成后进行，并且自底向上逐一排查，训练开销大。

3.2 C4.5算法

在ID3算法上的改进，由于ID3算法会偏向于样本数目多的属性，因此ID3引进了一个因子来抵消它，但会引来偏好数目少的样本。因此，在应用中，先从候选属性中找出信息增益高于平均水平的属性，再从中选择增益率最高的。其具体公式见最后附图。

3.3 CART算法

和之前选择增益率最大的不同，CART算法是通过基尼指数的最小值来选择属性，基尼指数越小，其纯度越高。以上所有的讲解小结在最后附图中。

参考文档： 周志华，《机器学习》，清华大学出版社。