Catalan数应用整理

应用一：

codevs 3112 二叉树计数

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 题目等级 : 黄金 Gold

 

题目描述  Description

一个有n个结点的二叉树总共有多少种形态

输入描述  Input Description

读入一个正整数n

输出描述  Output Description

输出一个正整数表示答案

样例输入  Sample Input

6

样例输出  Sample Output

132

数据范围及提示  Data Size & Hint

1<=n<=20

 1 #define N 25
 2 #include<cstdio>
 3 #include<iostream>
 4 using namespace std;
 5 long long f[N];
 6 int main()
 7 {
 8     int n;
 9     scanf("%d",&n);
10     f[0]=1;f[1]=1;
11     for(int i=2;i<=n;++i)
12       for(int k=0;k<i;++k)
13       f[i]+=f[k]*f[i-1-k];
14     printf("%d\n",f[n]);
15     return 0;
16 }

下面解释：为何n个节点的二叉树的形态数目是Catalan数？

 1 /*
 2 先考虑只有一个节点的情形，设此时的形态有f(1)种，那么很明显f(1)=1
 3 
 4 若是有两个节点呢？咱们很天然想到，应该在f(1)的基础上考虑递推关系。那么，若是固定一个节点后，有两种状况，一是左子树还剩一个节点，此刻类型数量为f(1)，第二种状况是右子树生一个节点，此刻类型数量为f(1)，固有f(2) = f(1) + f(1)
 5 
 6 若是有三个节点呢？咱们须要考虑固定两个节点的状况么？固然不行，为何？
 7 
 8 由于当节点数量大于等于2时，不管你如何固定，其形态必然有多种，而在这多种基础之上你如何安排后续剩下的节点呢？因此必须挑出这个误区。
 9 
10 回到二叉树的定义，二叉树本质上就是一个递归的形式，左子树，右子树，根节点。因此根节点应该不变，须要递归处理的是左右子树。
11 
12 也就是说，仍是考虑固定一个节点，即根节点。好的，按照这个思路，还剩2个节点，那么左右子树的分布状况为2=0+2=1+1=2+0。
13 
14 因此有3个节点时，递归形式为f(3)=f(2) + f(1)*f(1) + f(2). (注意这里的乘法，由于左右子树一块儿组成整棵树，根据排列组合里面的乘法原理便可得出)
15 
16 那么有n个节点呢？咱们固定一个节点，那么左右子树的分布状况为n-1=n-1 + 0 = n-2 + 1 = ... = 1 + n-2 = 0 + n-1
17 
18 OK。递归表达式出来了f(n) = f(n-1) + f(n-2)f(1) + f(n-3)f(2) + ... + f(1)f(n-2) + f(n-1)
19 
20  
21 
22 观察一下这个表达式，嗯，和咱们以前见过的递归表达有一点区别，递推层级为n的时候，更多的是考虑前一步(n-1)，或者前两步(n-1)和(n-2)。
23 
24 可是这里却考虑到全部的状况，即1到n-1。
25 
26 最后说明一下，这个表达式有一个学名，叫作Catalan数。上面咱们没有定义f(0)。若是把f(0)也考虑进去，显然没有节点也只有一种状况，即f(0)=1
27 
28 标准表达式为f(n) = f(n-1)f(0) + f(n-2)f(1) + f(n-3)f(2) + ... + f(1)f(n-2) + f(n-1)f(0)
29 
30 前几个数为1,1,2,5,14,42,132。
31 */

应用二：

codevs 3134 Circle 

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 题目等级 : 黄金 Gold

题解

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题目描述  Description

在一个圆上，有2*K个不一样的结点，咱们以这些点为端点，连K条线段，使得每一个结点都刚好用一次。在知足这些线段将圆分红最少部分的前提下，请计算有多少种连线的方法

输入描述  Input Description

仅一行，一个整数K(1<=K<=30)

输出描述  Output Description

两个用空格隔开的数，后者为最少将圆分红几块，前者为在此前提下连线的方案数

样例输入  Sample Input

2

样例输出  Sample Output

2 3

数据范围及提示  Data Size & Hint

 1 #include<cstdio>
 2 int n;
 3 long long f;
 4 int main()
 5 {
 6     scanf("%d",&n);
 7     f=1;
 8     for(int i=2;i<=n;++i)
 9     f=f*(4*i-2)/(i+1);
10     printf("%lld %d",f,n+1);
11 /*最少的划分部分是n条线段都不相交*/
12     return 0;
13 }