最优贸易

最优贸易

NOIp 2009提升组第三题 最优贸易

前言

一眼瞄到题面中的样例图示——图论！

再去读题，想到了最短路暴力求解，根据数据范围分析一下，拿\(50pts\)应该是没问题的（虽然暴力的时间复杂度真的大的可怕，大概是\(O(n^3)\)）

因此，下面会介绍个人暴力最短路版实现以及正解版实现（正解之一：分层图）

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暴力最短路

PS：你们能够直接跳到后面看分层图的讲解qwq

怎么用最短路来骗范围小的暴力分呢？

枚举呗！咱们循环枚举每一种珂行的买入卖出方案，而后比较出其中的最大值便可

其中可行的方案必须知足如下规则（设每一个点的价格为\(c[i]\)，买入点为\(i\)，卖出点为\(j\)）：

1. 路径必须是从起点\(1\)到终点\(n\)（其中可屡次通过任意点）即：\(1\)和\(i\)必须连通，\(i\)和\(j\)必须连通，\(j\)和\(n\)必须连通

2. \(c[j]\)必须\(>\)\(c[i]\)，由于目的是赚钱，因此确定低入高出啊！不然就不进行贸易了

知足以上条件后咱们就能够将\(c[j]-c[i]\)与\(ans\)做比较，最后输出保存了最大答案的\(ans\)便可（注意， \(1\)和\(n\)这两个点也可能做为买入点或卖出点）

这个思路仍是很容易就编出代码的（Dijkstra和SPFA是同样的\(50pts\)）：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
queue<int> q;
int n,m,x,y,z,tot,ans,c[500010];
int dis[5201][5201],vis[500010],head[500010];

struct node {
	int to,net;
} e[500010];

inline void add(int u,int v) {
	e[++tot].to=v;
	e[tot].net=head[u];
	head[u]=tot;
}

inline void spfa(int s) {
	for(register int i=1;i<=n;i++) {
		vis[i]=0;
		dis[s][i]=20050206;
	}
	dis[s][s]=0;
	vis[s]=1;
	q.push(s);
	while(!q.empty()) {
		int x=q.front();
		q.pop();
		for(register int i=head[x];i;i=e[i].net) {
			int v=e[i].to;
			if(dis[s][v]>dis[s][x]+1) {
				dis[s][v]=dis[s][x]+1;
				if(!vis[v]) {
					vis[v]=1;
					q.push(v);
				}
			}
		}
	}
}

int main() {
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(register int i=1;i<=n;i++) {
		scanf("%d",&c[i]);
	}
	for(register int i=1;i<=m;i++) {
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
		add(x,y);
		if(z==2) add(y,x);
	}
	for(register int i=1;i<=n;i++) {
		spfa(i);
	}
	for(register int i=1;i<=n;i++) {
		for(register int j=1;j<=n;j++) {
			if(dis[j][n]==20050206) continue;
			if(c[j]-c[i]<=ans||c[j]<=c[i]) continue;
			if(dis[1][i]!=20050206&&dis[i][j]!=20050206) {
				ans=c[j]-c[i];
			}
		}
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}

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分层图（正解之一）

这题还能分层图？？！！

在看到了这篇题解的标题后，简直是顿悟啊！若是对分层图比较熟悉，题意转换能力较好的OIer应该仍是想得出来（跟我没啥关系...）

不了解分层图为什么物的，能够看个人这篇题解 （虽然讲的是分层图最短路，可是也能够辅助了解分层图qvq）

• 来解释一下为何会想到分层图

题目中明确表示贸易只会进行一次！

那咱们将买入标记为第一层与第二层连边，边权为\(-c[i]\)；将卖出标记为第二层与第三层连边，边权为\(c[i]\)。而后从起点\(1\)走到\(3*n\)的最长路就是咱们最终的答案！

（有点很差理解？那咱们来看看图，这图有点大..很差意思啊）

蓝色的线表示的就是买入，绿色的线表示的就是卖出，旁边的东西就是边权

在每一层中，有边相连的两个点的边权为0就好，这样不会影响结果

如今给出\(100pts\)的AC代码qwq：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,u,v,z,tot,c[300010];
int dis[300010],head[300010];
priority_queue<pair<int,int> > q;

struct node {
	int to,net,val;
} e[300010];

inline void add(int u,int v,int w) {
	e[++tot].to=v;
	e[tot].val=w;
	e[tot].net=head[u];
	head[u]=tot;
}

inline void dijkstra() {
	for(register int i=1;i<=3*n;i++) dis[i]=-20050206;  //注意是3*n而不仅是n！ 
	dis[1]=0;
	q.push(make_pair(0,1));
	while(!q.empty()) {
		int x=q.top().second;
		int y=q.top().first;
		q.pop();
		if(dis[x]>y) continue;
		for(register int i=head[x];i;i=e[i].net) {
			int v=e[i].to;
			if(dis[v]<dis[x]+e[i].val) {  //取最长路 
				dis[v]=dis[x]+e[i].val;
				q.push(make_pair(dis[v],v));
			}
		}
	}
}

int main() {
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(register int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&c[i]);
	for(register int i=1;i<=m;i++) {  //每一层中连边 
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&z);
		add(u,v,0);
		add(u+n,v+n,0);
		add(u+n+n,v+n+n,0);
		if(z==2) {  //双向边 
			add(v,u,0);
			add(v+n,u+n,0);
			add(v+n+n,u+n+n,0);
		}
	}
	for(register int i=1;i<=n;i++) {  //层与层之间连边 
		add(i,i+n,-c[i]);
		add(i+n,i+n+n,c[i]);
	}
	dijkstra();
	printf("%d",max(0,dis[3*n]));
	return 0;
}

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最后，若是有任何不懂或不对的地方，欢迎你们在底下留言，我会及时回复，谢谢orz