分层图最短路

分层图最短路

定义：

顾名思义，“分层图最短路”就是在多层平行的图上跑最短路

模型：

分层图最短路的模型就是在最短路模型的基础上加上k个决策

最短路模型：给定n个点m个条路，求从s出发到t的最短距离

分层图最短路模型：给定n个点m条路以及k个决策，再求出s到t的最短距离

k个决策不会影响图的结构，只会影响当前的代价或状态

（PS：对于每一道题，决策的具体内容是不同的，能够结合以后的例题理解）

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模板：

面对分层图最短路这种题，咱们通常有两种方法解决：

1. 直接构建k+1层平行的图

2. 多开一维记录决策信息

• 如今来说第一种方法

1. 面对每一层，咱们仍是先像普通最短路同样连边建图

2. 处理层与层，咱们将有边相连的两个点u、v各自多向下一层连一条边（权值视题目的决策内容而定，而且是有向边，向下的有向边，这样就模拟出了k次决策！）

3. 当有n个点时，（1 ~ n）表示第一层，（1+n）~（n+n）为第二层，（1+2 * n）~（n+2 * n）为第三层·······（1+i * n）~（n+i * n）为第i+1层

4. 由第3点可得：由于要建k+1层图，因此数组要开到n * ( k + 1)，点的个数也为n * ( k + 1 )

有点抽象，咱们来举个栗子：
n=4，m=3，k=2
0  1  100
1  2  100
2  3  100

建成的k+1层图以下：

如今给出完整的模板code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,k,u,v,w,s,t,tot;
int dis[5000010],vis[5000010],head[5000010];  //根据题意改变数组大小 
priority_queue<pair<int,int> > shan;

struct node {
	int to,net,val;
}e[5000010];

inline void add(int u,int v,int w) {  //链式前向星存边 
	e[++tot].val=w;
	e[tot].to=v;
	e[tot].net=head[u];
	head[u]=tot;
}

inline void dijkstra(int s) {  //Dijkstra跑最短路的板子 
	memset(dis,0x3f,sizeof dis);
	dis[s]=0;
	shan.push(make_pair(0,s));
	while(!shan.empty()) {
		int x=shan.top().second;
		shan.pop();
		if(vis[x]) continue;
		vis[x]=1;
		for(register int i=head[x];i;i=e[i].net) {
			int v=e[i].to;
			if(dis[v]>dis[x]+e[i].val) {
				dis[v]=dis[x]+e[i].val;
				shan.push(make_pair(-dis[v],v));
			}
		}
	}
}

int main() {
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	scanf("%d%d",&s,&t);
	for(register int i=1;i<=m;i++) {
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		add(u,v,w);  //正常存边 
		add(v,u,w);
		for(register int j=1;j<=k;j++) {  //构建以后的k层图 
			add(u+j*n,v+j*n,w);  //每一层的连边同上正常连边 
			add(v+j*n,u+j*n,w);
			add(u+(j-1)*n,v+j*n,0);  //层与层之间的联系 
			add(v+(j-1)*n,u+j*n,0);  //层与层边的权值不必定是0！要视题目而定 
		}
	}
	for(register int i=1;i<=k;i++) {  //将每一层的终点特别连起来 
		add(t+(i-1)*n,t+i*n,0);
	}
	dijkstra(s);
	printf("%d",dis[t+k*n]);  //最终答案存在最后一层的终点处 
	return 0;
}

• 第二种作法

由于我认为第一种作法比较简单，就没怎么编写第二种作法的代码（并且两种作法面对不卡数据的题目选任意一种都能过）

因此如今就给出我学习的博客，你们能够看这个连接自行学习第二种作法（我的感受有点相似于DP思想）

PS：个人第一种作法代码和上面的博客有些许的区别，但愿你们区分开来，不要记混了qwq

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例题：

• 洛谷P4568 飞行路线

1. 这道题彻底就是分层图最短路题型的模板题

2. 注意一点就是这题的编号是从0~（n-1）的，因此为了处理方便，咱们在输入后就进行加一操做，转换为1~n的编号

3. 如今给出主程序代码（Dijkstra部分见上面的模板）：

int main() {
	scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);
	scanf("%lld%lld",&s,&t);
	s++;t++;  //由于编号从0开始，方便处理都加1，下面的u++、v++同理 
	for(register long long i=1;i<=m;i++) {
		scanf("%lld%lld%lld",&u,&v,&w);
		u++;v++;
		add(u,v,w);
		add(v,u,w);
		for(register long long j=1;j<=k;j++) { 
			add(u+j*n,v+j*n,w);
			add(v+j*n,u+j*n,w);
			add(u+(j-1)*n,v+j*n,0);
			add(v+(j-1)*n,u+j*n,0);  //由于该题的决策时免费，因此权值为0 
		}
	}
	for(register long long i=1;i<=k;i++) {
		add(t+(i-1)*n,t+i*n,0);
	}
	dijkstra(s);
	printf("%lld",dis[t+k*n]);
	return 0;
}

• 洛谷P2939 [USACO09FEB]Revamping Trails G

1. 这题也是直接套模板就能A掉的，并且规定了起点是1终点是n，双倍经验get！

2. 哦哦哦，补充一下，题意就是求从1到n的最短路距离，不是输出对哪些小径进行升级ovo！

3. 直接给主程序代码：

int main() {
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	for(register int i=1;i<=m;i++) {
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&t);
		add(u,v,t);
		add(v,u,t);
		for(register int j=1;j<=k;j++) {
			add(u+j*n,v+j*n,t);
			add(v+j*n,u+j*n,t);
			add(u+(j-1)*n,v+j*n,0);
			add(v+(j-1)*n,u+j*n,0);
		}
	}
	for(register int i=1;i<=k;i++) {
		add(i*n,(i+1)*n,0);  //由于每一层的终点就是n，因此改写成这样，注意一下区别ovo 
	}
	dijkstra();
	printf("%d",dis[(k+1)*n]);
	return 0;
}

• 洛谷P4822 [BJWC2012]冻结

1. 这道题95%都是板子，只有一点不一样：本题的决策内容是花费减半，因此层与层之间的权值再也不是0，而是这条边本来权值的一半！

2. 其余的就没什么好说的，三倍经验get！

3. 给出主程序代码以下：

int main() {
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	for(register int i=1;i<=m;i++) {
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&t);
		add(u,v,t);
		add(v,u,t);
		for(register int j=1;j<=k;j++) {
			add(u+j*n,v+j*n,t);
			add(v+j*n,u+j*n,t);
			add(u+(j-1)*n,v+j*n,t/2);   //注意区别哦！这里的权值再也不是0，而是一半的花费！ 
			add(v+(j-1)*n,u+j*n,t/2);
		}
	}
	for(register int i=1;i<=k;i++) {
		add(i*n,(i+1)*n,0);   //同上一道题，由于每一层的终点就是n，因此改写成这样
	}
	dijkstra();
	printf("%d",dis[(k+1)*n]);
	return 0;
}

• 洛谷P1948 [USACO08JAN]Telephone Lines S

1. 初看这道题容易直接当作纯板子题，可是你会发现程序过不了样例：答案是4，本身的输出是5

2. 再去读题，请注意这句话：“总费用决定于其中最长的电话线的长度”，说明不是求从1到n的最短路，而是求从1到n的路径中最大边权最小，因此咱们须要改一下Dijkstra的入队判断：

if(dis[v]>max(dis[x],e[i].val)) {
   dis[v]=max(dis[x],e[i].val);
   shan.push(make_pair(-dis[v],v));
}

3. 而后不要忘记有输出-1这种状况，因此咱们须要在输出前加一个判断：

if(dis[(k+1)*n]>1000001) printf("-1");
else printf("%d",dis[(k+1)*n]);

由于每条路的边权值不会超过1000000（题目规定）

4. 剩下的跟以上题目代码同样，就不给出代码了，四倍经验get！（注意一下，这道题的决策内容也是免费，因此层与层的边权值为0便可）

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最后，以上只是我对于“分层图最短路”的基本学习记录，有任何理解错误的地方，还烦请各位dalao指出，蒟蒻感激涕零啊orz！