梯度、散度和旋度及在图像处理中的应用(图像融合)



对于有些人，看这些枯燥的公式符号是件痛苦的事情；但痛苦后总会有所欣喜，若是你充分利用它的话，你更能体会到他的美妙；先来几张效果图，激发你学习数学的欲望：

                  注释：图像融合效果，分别应用了不一样的算法

在图像图形处理中， 梯度、散度和旋度 有很重要的做用，好比图像修复中的解泊松方程，目标跟踪等等，能够说是他们无处不在。

来句废话：可能有些人，对于数学符号里面倒三角 正三角 符号的意思?与读法感到迷惑，现稍做解释；

△通常指拉普拉斯算子

▽读Nabla,奈不拉,也能够读做“Del” 这是场论中的符号,是矢量微分算符.高等数学中的梯度,散度,旋度都会用到这个算符.其二阶导数中旋度的散度又称Laplace算符

继续核心内容：

梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。之因此是“分析”，由于三者是三种偏导数计算形式。这里假设读者已经了解了三者的定义。它们的符号分别记做以下：

                                 

                                 

                                

从符号中能够得到这样的信息：

①求梯度是针对一个标量函数，求梯度的结果是获得一个矢量函数。这里φ称为势函数；

②求散度则是针对一个矢量函数，获得的结果是一个标量函数，跟求梯度是反一下的；

③求旋度是针对一个矢量函数，获得的仍是一个矢量函数。

这三种关系能够从定义式很直观地看出，所以能够求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度能够连续做用两次，而一维波动方程具备以下的形式

                               (1)

其中a为一实数，因而能够设想，对于一个矢量函数来讲，要求得它的波动方程，只有求它的“旋度的旋度”才能获得。下面先给出梯度、散度和旋度的计算式：

                         (2)

                          (3)

                           (4)

旋度公式略显复杂。这里结合麦克斯韦电磁场理论，来讨论前面几个“X度的X度”。

 

I.梯度的散度：

根据麦克斯韦方程有：

                                  

而

                                  (5)

则电势的梯度的散度为

                            

这是一个三维空间上的标量函数，常记做

                                 (6)

称为泊松方程，而算符▽2称为拉普拉斯算符。事实上由于定义

                                

因此有

                               

固然，这只是一种记忆方式。

当空间内无电荷分布时，即ρ=0，则称为拉普拉斯方程

                                      

当咱们仅须要考虑一维状况时，好比电荷均匀分布的无限大平行板电容器之间（不包含极板）的电场，咱们知道该电场只有一个指向，场强到处相等，因而该电场知足一维拉普拉斯方程，即

                                     

这就是说若是那边平行板电容器的负极板接地，则板间一点处的电压与该点距负极板的距离呈线性关系。

 

II.散度的梯度：

散度的梯度，从上面的公式中能够看到结果会比较复杂，可是它的物理意义倒是很明确的，由于从麦克斯韦方程能够看出空间某点处电场的散度是该点处的电荷密度，那么再求梯度就是空间中电荷密度的梯度。这就比如说清水中滴入一滴红墨水，起初水面红色浓度最高，杯底浓度最低，这样水面与杯底造成一个浓度梯度，红墨水由水面向杯底扩散，最后均匀。在半导体中，载流子分布的不均匀会致使扩散电流。

散度的梯度这个概念其实不经常使用，由于计算复杂，但在后面讲用它来推导一个矢量恒等式。

 

III.梯度的旋度：

对于梯度的旋度，直接把(2)式代入(4)式中，有

因为势函数在空间一点的领域内每每是有二阶连续混合偏导数的，所以上式的结果为0.因此说梯度的旋度为零，它的物理意义也是很明确的。

好比一我的从海平面爬到一座山上，不管它是从山的陡坡爬上去仍是从缓坡爬上去，亦或者坐直升机上去，重力对他所作的功老是相等的，即力场的作工只与位移有关，而与路径无关，这样的场称为保守场，而保守场是无旋场。再好比绘有等高线的地图，若是某点只有一个一根等高线穿过，那么该点有一个肯定的相对高度。若是该点有两条或以上的等高线穿过，则这个点处在悬崖边上，这个点处是不可微，也就没有求梯度的意义。

 

IV.旋度的散度：

求旋度的散度也是将(4)式代入(3)式便可。若令

                            (7)

则

                                      

                                

                                

从而

                                   

                             

                             

将上面三式相加结果也为零。因此说旋度的散度为零，这就意味着一个散度场任意叠加上一个有旋场不会改变其散度，也就是说光凭矢量场的散度没法惟一地肯定这个矢量场。而光凭矢量场的旋度也没法惟一地肯定这个矢量，这是由于有旋场能够叠加上这么一个矢量场而不改变其旋度，而这个矢量场是一个标量函数的梯度。

 

V.旋度的旋度：

旋度的旋度将是本文的重点。若所研究的空间范围内是无源的，即ρ=0，J=0，则根据麦克斯韦方程有：

                                (8)

                             (9)

                                   (10)

                               (11)

对(9)式两端取旋度

                          (12)

再将(8)式代入(12)式有

                             (13)

看到这里容易让人想到式(1)，前面说式(1)的方程为一维波动方程，那么跟(13)式有什么联系呢？棘手的问题是算旋度已经够复杂了，算旋度的旋度岂不是更费周折？幸亏有矢量恒等式能够利用来帮助简化计算，这里要用到前面所讲的散度的梯度。即有：

                          (14)

这里拉普拉斯算子做用于一个矢量函数时，意义变得不明确了，它和前面的几个“X度的X度”都不同，实际上它有这样的定义：

                        (15)

为了验证式(14)仍是要对计算“旋度的旋度”，但之后能够直接利用该式。仍是作(7)式那样的处理，即令

                                

则

                                    

                              

                              

因而

               (16)

而令

                                     

             (17)

两式相减有

               (18)

相似地有

                                    

                                    

因为所关心的空间内是无源的，因此式(13)变成

                             (19)

这个方程很重要，称为三维波动方程，这也从理论上揭示了电磁波的存在。它的各份量展开后比较复杂，实际上咱们没法绘制出一个向四面八方传播的波的振动图像，但好在能够画出一维和二维的波，从而了解波的性质。有些事物咱们没法在现实世界中呈现，或绘制出图形，可是数学上却能够计算且有确切的物理意义，好比高于三维的空间，不得不感叹数学的神奇，感叹咱们生活的世界的神奇。

 

VI.几个矢量恒等式：

前面已经介绍了一个矢量恒等式，还有其余几个重要的恒等式。因为三种“度”是三种不一样微分算法，虽然有些场合能够把▽当作一个普通的矢量来处理，但并不老是正确的，这一点须要引发注意。

①

 

 

②

 

这里“×”乘的优先级高于“·”乘对于普通三个不共面的矢量A、B、C则有A·B×C=C·A×B=B·C×A。获得的结果是令三个矢量共起点，以三个矢量的模为棱构成的六面体的体积或它的负值。可是对于▽算子，则通常

                                   

可是通常有

                                

实际上上面的矢量恒等式就是上式的扩展

上两式相减有

记忆上式的方法是记住下标的顺序是xyz，yzx和zxy。

 

③

 

这个等式相对容易证实，但前提是要在直角坐标下。