《大话数据结构》读后总结（六）

算法时间复杂度定义

算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记做：T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增加率和f(n)的增加率相同，称做算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

通常状况下，随着n的增大，T(n)增加最慢的算法为最优算法。

O(1)叫常数阶、O(n)叫线性阶、O(n^2)叫平方阶。

推导大O阶：

1．用常数1取代运行时间中的全部加法常数。

2．在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3．若是最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

常数阶

int sum = 0,n = 100;      /* 执行一次 */
sum = (1 + n) * n / 2;    /* 执行一次 */
printf("%d", sum);        /* 执行一次 */

运行次数函数是f(n)=3,时间复杂度为O(1)。与问题的大小无关（n的多少），执行时间恒定的算法，叫常数阶。

线性阶

int i;
for (i = 0; i < n; i++)
{
    /* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
}

时间复杂度为O(n)，由于循环体中的代码需要执行n次。

对数阶

int count = 1;
while (count < n)
{
    count = count * 2;
    /* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
}

由2x=n获得x=log2n,时间复杂度为O(logn)。

平方阶

int i, j;
for (i = 0; i < n; i++)
{
    for (j = 0; j < n; j++)
    {
        /* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
    }
}

外层的循环时间复杂度O(n)，内层时间复杂度为O(n)，因此这段代码的时间复杂度为O(n^2)。

n++;                       /* 执行次数为1 */
function(n);               /* 执行次数为n */
int i, j;
for (i = 0; i < n; i++)    /* 执行次数为n^2 */
{
    function (i);
}
for (i = 0; i < n; i++)    /* 执行次数为n(n + 1)/2 */
{
    for (j = i; j < n; j++)
    {
        /* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
    }
}

执行次数f(n)=1+n+n^2+n(n+1)/2=3/2·n^2+3/2·n+1，时间复杂度也是O(n2)。

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