彻底二叉树

一、彻底二叉树(Complete Binary Tree)的定义：

若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层全部的结点都连续集中在最左边，这就是彻底二叉树。

二、满二叉树的定义(full binary tree)：

国内定义：一个二叉树，若是每个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。
         也就是说，若是一个二叉树的层数为K，且结点总数是(2^k) -1 ，则它就是满二叉树。
国外定义：满二叉树的结点要么是叶子结点，度为0，要么是度为2的结点，不存在度为1的结点。

注：不知道什么缘由致使这个差别，百度百科建议在国际交流场合，包括学术会议发表论文等都应该使用美国和国际定义.在国内的各类考试场合，好比研究生考试/软考/计算机等级考试等，都应该使用国内教材的定义.在校学生的校级考根据所在学校采用教材状况而定。
三、二叉树的基本性质

节点的度：节点的子节点的数量为该节点的度。在彻底二叉树中，节点的度最多为2，最少为0。
叶子节点：度为0的节点称为叶子节点。
假设彻底二叉树的总结点树为n，度为0的节点数量为n0，度为1的节点数量为n1，度为2的节点数量为n2,则显然知足n=n0+n1+n2。

性质1:二叉树第i层上的结点数目最多为2^(i-1),(i≥1)。

性质2:深度为k的二叉树至多有(2^k)-1个结点(k≥1)。 n=2^0+2^1+…+2^(k-1)=(2^k)-1故命题正确。

性质3 在任意-棵二叉树中，若终端结点的个数为n0，度为2的结点数为n2，则no=n2+1。

证实：由于二叉树中全部结点的度数均不大于2，
   假设二叉树的总结点树为n，度为0的节点数量为n0，度为1的节点数量为n1，度为2的节点数量为n2,
   则结点数之和：
       n=no+n1+n2 (式子1)
　 另外一方面，1度结点有一个孩子孩，2度结点有两个子，故二叉树中孩子结点总数是：
       nl+2*n2+
　　树中只有根结点不是任何结点的孩子，故二叉树中的结点总数又可表示为：
       n=n1+2*n2+1 (式子2)
　　由式子1和式子2获得：
       no=n2+1

三、彻底二叉树的性质

性质1： 当n为偶数时，n1=1，n为奇数时，n1=0。

证实：
咱们知道彻底二叉树的特色，它缺乏结点时老是出如今叶子层(即最下面一层)的右子树开始连续缺乏；
咱们设彻底二叉树的深度为k(k>1),则从第1层至第k-1层的结点总数为(2^k)-1个(根据二叉树性质2计算出来)且必定是奇数，则第k层的节点数为n-(2^k)-1；
假若n是偶数，则由偶数-奇数=奇数性质可知第k层节点数为奇数，则存在1个度为1的节点；
假若n是奇数，则由奇数-奇数=偶数性质可知第k层节点数为偶数，则不存在度为1的节点。

性质2：具备n个节点的彻底二叉树的深度为k=[log2(n)]（向上取整）。
性质3：对一颗具备n个节点的彻底二叉树中的节点从1开始按层序编号，则对于任意的编号为i（1<= i <=n的节点：
(1) 若是i=1,则节点i是根节点，无双亲。
(2) 若是i>1,则节点i的双亲节点为[i/2](向下取整)
(3) 若是2i<=n，则i的左孩为2i，若是2i>n，则i无左孩
(4) 若是2i+1<=n,则i的右孩为2i+1，不然i无右孩