跳表 skiplist
最初知道跳表（Skip List）是在看redis原理的时候，redis中的有序集合使用了跳表做为数据结构。接着就查了一些资料，来学习一下跳表。后面会使用java代码来实现跳表。java
跳表简介
跳表由William Pugh发明。他在论文《Skip lists: a probabilistic alternative to balanced trees》中详细介绍了跳表的数据结构和插入删除等操做。论文是这么介绍跳表的：node
Skip lists are a data structure that can be used in place of balanced trees.
Skip lists use probabilistic balancing rather than strictly enforced balancing and as a result the algorithms for insertion and deletion in skip lists are much simpler and significantly faster than equivalent algorithms for balanced trees.redis
也就是说，跳表能够用来替代红黑树，使用几率均衡技术，插入、删除操做更简单、更快。算法
做者在文章中由链表的查找一步步引入到跳表的介绍。首先来看论文里的一张图：数组
上图a，已排好序的链表，查找一个结点最多须要比较N个结点。数据结构
上图b，每隔2个结点增长一个指针，指向该结点间距为2的后续结点，那么查找一个结点最多须要比较ceil(N/2)+1个结点。dom
上图c，每隔4个结点增长一个指针，指向该结点间距为4的后续结点，那么查找一个结点最多须要比较ceil(N/4)+1个结点。函数
若是每第2^i个结点都有一个指向间距为2^i的后续结点的指针，这样不断增长指针，比较次数会降为log(N)。这样的话，搜索会很快，但插入和删除会很困难。学习
一个拥有k个指针的结点称为一个k层结点（level k node）。按照上面的逻辑，50%的结点为1层，25%的结点为2层，12.5%的结点为3层...若是每一个结点的层数随机选取，但仍服从这样的分布呢（上图e，对比上图d）？ui
使一个k层结点的第i个指针指向第i层的下一个结点，而不是它后面的第2^(i-1)个结点，那么结点的插入和删除只须要原地修改操做；一个结点的层数，是在它被插入的时候随机选取的，而且永不改变。由于这样的数据结构是基于链表的，而且额外的指针会跳过中间结点，因此做者称之为跳表（Skip Lists）。
跳表的算法
原始论文使用伪代码的形式来描述算法。本文以java语言来描述算法。
首先定义一下须要用的数据结构。表中的元素使用结点来表示，结点的层数在它被插入时随机计算决定（与表中已有结点数目无关）。一个i层的结点有i个前向指针（java中使用结点对象数组forward来表示），索引为从1到i。用MaxLevel来记录跳表的最大层数。跳表的层数为当前全部结点中的最大层数（若是list为空，则层数为1）。列表头header拥有从1到MaxLevel的前向指针：
public class SkipList<T> {
// 最高层数
private final int MAX_LEVEL;
// 当前层数
private int listLevel;
// 表头
private SkipListNode<T> listHead;
// 表尾
private SkipListNode<T> NIL;
// 生成randomLevel用到的几率值
private final double P;
// 论文里给出的最佳几率值
private static final double OPTIMAL_P = 0.25;
public SkipList() {
// 0.25, 15
this(OPTIMAL_P, (int)Math.ceil(Math.log(Integer.MAX_VALUE) / Math.log(1 / OPTIMAL_P)) - 1);
}
public SkipList(double probability, int maxLevel) {
P = probability;
MAX_LEVEL = maxLevel;
listLevel = 1;
listHead = new SkipListNode<T>(Integer.MIN_VALUE, null, maxLevel);
NIL = new SkipListNode<T>(Integer.MAX_VALUE, null, maxLevel);
for (int i = listHead.forward.length - 1; i >= 0; i--) {
listHead.forward[i] = NIL;
}
}
// 内部类
class SkipListNode<T> {
int key;
T value;
SkipListNode[] forward;
public SkipListNode(int key, T value, int level) {
this.key = key;
this.value = value;
this.forward = new SkipListNode[level];
}
}
}
搜索
按key搜索，找到返回该key对应的value，未找到则返回null。
经过遍历forward数组来需找特定的searchKey。假设skip list的key按照从小到大的顺序排列，那么从跳表的当前最高层listLevel开始寻找searchKey。在某一层找到一个非小于searchKey的结点后，跳到下一层继续找，直到最底层为止。那么根据最后搜索中止位置的下一个结点，就能够判断searchKey在不在跳表中。
下图为在跳表中找8的过程：
插入和删除
插入的删除的方法类似，都是经过查找与链接（search and splice），以下图：
维护一个update数组，在搜索结束以后，update[i]保存的是待插入/删除结点在第i层的左侧结点。
1. 插入
若key不存在，则插入该key与对应的value；若key存在，则更新value。
若是待插入的结点的层数高于跳表的当前层数listLevel，则更新listLevel。
选择待插入结点的层数randomLevel：
randomLevel只依赖于跳表的最高层数和几率值p。算法在后面的代码中。
另外一种实现方法为，若是生成的randomLevel大于当前跳表的层数listLevel，那么将randomLevel设置为listLevel+1，这样方便之后的查找，在工程上是能够接受的，但同时也破坏了算法的随机性。
2. 删除
删除特定的key与对应的value。
若是待删除的结点为跳表中层数最高的结点，那么删除以后，要更新listLevel。
java版代码
参考了网上的一些代码，用java写了一版，包含main函数，可运行。
public class SkipList<T> {
// 最高层数
private final int MAX_LEVEL;
// 当前层数
private int listLevel;
// 表头
private SkipListNode<T> listHead;
// 表尾
private SkipListNode<T> NIL;
// 生成randomLevel用到的几率值
private final double P;
// 论文里给出的最佳几率值
private static final double OPTIMAL_P = 0.25;
public SkipList() {
// 0.25, 15
this(OPTIMAL_P, (int)Math.ceil(Math.log(Integer.MAX_VALUE) / Math.log(1 / OPTIMAL_P)) - 1);
}
public SkipList(double probability, int maxLevel) {
P = probability;
MAX_LEVEL = maxLevel;
listLevel = 1;
listHead = new SkipListNode<T>(Integer.MIN_VALUE, null, maxLevel);
NIL = new SkipListNode<T>(Integer.MAX_VALUE, null, maxLevel);
for (int i = listHead.forward.length - 1; i >= 0; i--) {
listHead.forward[i] = NIL;
}
}
// 内部类
class SkipListNode<T> {
int key;
T value;
SkipListNode[] forward;
public SkipListNode(int key, T value, int level) {
this.key = key;
this.value = value;
this.forward = new SkipListNode[level];
}
}
public T search(int searchKey) {
SkipListNode<T> curNode = listHead;
for (int i = listLevel; i > 0; i--) {
while (curNode.forward[i].key < searchKey) {
curNode = curNode.forward[i];
}
}
if (curNode.key == searchKey) {
return curNode.value;
} else {
return null;
}
}
public void insert(int searchKey, T newValue) {
SkipListNode<T>[] update = new SkipListNode[MAX_LEVEL];
SkipListNode<T> curNode = listHead;
for (int i = listLevel - 1; i >= 0; i--) {
while (curNode.forward[i].key < searchKey) {
curNode = curNode.forward[i];
}
// curNode.key < searchKey <= curNode.forward[i].key
update[i] = curNode;
}
curNode = curNode.forward[0];
if (curNode.key == searchKey) {
curNode.value = newValue;
} else {
int lvl = randomLevel();
if (listLevel < lvl) {
for (int i = listLevel; i < lvl; i++) {
update[i] = listHead;
}
listLevel = lvl;
}
SkipListNode<T> newNode = new SkipListNode<T>(searchKey, newValue, lvl);
for (int i = 0; i < lvl; i++) {
newNode.forward[i] = update[i].forward[i];
update[i].forward[i] = newNode;
}
}
}
public void delete(int searchKey) {
SkipListNode<T>[] update = new SkipListNode[MAX_LEVEL];
SkipListNode<T> curNode = listHead;
for (int i = listLevel - 1; i >= 0; i--) {
while (curNode.forward[i].key < searchKey) {
curNode = curNode.forward[i];
}
// curNode.key < searchKey <= curNode.forward[i].key
update[i] = curNode;
}
curNode = curNode.forward[0];
if (curNode.key == searchKey) {
for (int i = 0; i < listLevel; i++) {
if (update[i].forward[i] != curNode) {
break;
}
update[i].forward[i] = curNode.forward[i];
}
while (listLevel > 0 && listHead.forward[listLevel - 1] == NIL) {
listLevel--;
}
}
}
private int randomLevel() {
int lvl = 1;
while (lvl < MAX_LEVEL && Math.random() < P) {
lvl++;
}
return lvl;
}
public void print() {
for (int i = listLevel - 1; i >= 0; i--) {
SkipListNode<T> curNode = listHead.forward[i];
while (curNode != NIL) {
System.out.print(curNode.key + "->");
curNode = curNode.forward[i];
}
System.out.println("NIL");
}
}
public static void main(String[] args) {
SkipList<Integer> sl = new SkipList<Integer>();
sl.insert(20, 20);
sl.insert(5, 5);
sl.insert(10, 10);
sl.insert(1, 1);
sl.insert(100, 100);
sl.insert(80, 80);
sl.insert(60, 60);
sl.insert(30, 30);
sl.print();
System.out.println("---");
sl.delete(20);
sl.delete(100);
sl.print();
}
}