完美数 Perfect Number

问题：

We define the Perfect Number is a positive integer that is equal to the sum of all its positive divisors except itself.

Now, given an integer n, write a function that returns true when it is a perfect number and false when it is not.

Example:

Input: 28
Output: True
Explanation: 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

Note: The input number n will not exceed 100,000,000. (1e8)

解决：

① 第一种思路是暴力解决，可是超时了。

public class Solution {
    public boolean checkPerfectNumber(int num) {
        if(num <= 0) return false;
        int sum = 0;
        for (int i = 1;i < num ;i ++ ) {
            if (num % i == 0) {
                sum += i;
            }
        }
        if (num == sum) {
            return true;
        }else{
            return false;
        }
    }
}

② 根据上一个解法，咱们考虑2-sqrt（nums）范围内的数，以后的就是nums/以前的数。要注意的是要考虑到i！=num / i的状况。

public class Solution { //14ms
    public boolean checkPerfectNumber(int num) {
        if (num == 1) return false;
        int sum = 0;
        for (int i = 2; i <= Math.sqrt(num); i++) {
            if (num % i == 0) {
                sum += i;
                if (i != num / i) sum += num / i;
            }
        }
        sum ++;
        return sum == num;
    }
}

进阶版****：

public class Solution { //14ms
    public boolean checkPerfectNumber(int num) {
        if (num == 1) return false;
        int sum = 0;
        for (int i = 2; i <= Math.sqrt(num); i++) {
            if (num % i == 0) {
                sum += i + num / i;
            }
        }
        sum ++;
        return sum == num;
    }
}

③ 每一个完美数均可以写成从1开始的几个天然数之和，如：
6 = 1 + 2 + 3
28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7
我么能够看出，最后一个加数是最大的不能被2整除的因子n。由求和公式能够获得最终的和：                   sum = n *（n + 1）/ 2。

public class Solution { //10ms
    public boolean checkPerfectNumber(int num) {       
        if(num <= 1) {
            return false;
        }        
        int sum = 0;
        int n = num;
        while(n % 2 == 0) { //能够被2整除
            n /= 2;
        }
        sum = n * (n + 1) / 2;
        return sum == num;
    }
}

④ sum = 1 + 2 + ...... + 最大的不能被2整除的因子。

public class Solution { //11ms
    public boolean checkPerfectNumber(int num) {
       if(num == 0 || num == 1) return false;
        int sum = 1;         int n = 2;         while(num % n == 0){             sum += n;             sum += num / n;             n = 2 * n;                   }         return sum == num ? true : false;     } }