全概公式和贝叶斯公式的理解

条件几率

首先，理解这两个公式的前提是理解条件几率，所以先复习条件几率。

P(A|B)=P(AB)P(B)
理解这个能够从两个角度来看。
第一个角度：在B发生的基础上，A发生的几率。那么B发生这件事已是个基础的条件了，如今进入B已经发生的世界，看看A发生的几率是多少。那么分子就是B发生A也发生，分母就是B这个世界发生的几率了。分母若是是1，那么成了什么意思呢？

另外一个角度是看韦恩图。这里A在B发生的基础上发生的几率是A和B交集的阴影部分面积占用B的比例。

那么由条件几率出发，看一下变形出来的乘法公式：
P(AB)=P(A)⋅P(B|A)=P(B)⋅P(A|B)
也能够提供上面的两个角度来理解这个公式，虽然能够由上面的直接推导，可是咱们认为这是问题的思考的不一样角度，不单单是公式之间的运算。

一：AB同时发生的几率是在A基础上发生B的几率乘以A自己在外部发生的几率，也是B基础上发生A的几率乘以B自己在外部发生的几率.
二：AB表示的是阴影部分的面积占用A或者B的比例关系。

仅仅从形式上说，竖线后面的要在前面多乘以一个以达到平衡。

全几率

而后再看全几率公式。

一个别人举的例子：

一个村子与三个小偷，小偷偷村子的事件两两互斥，求村子被偷的几率。
解释：假设这三个小偷编号为A1,A2,A2；
偷东西的事件标记为B,不偷的话标记为：B¯¯¯
那么被偷的几率就是：要么是A1，要么是A2，要么是A3，
若是是A1, 几率是什么呢？首先得是A1,其次是村子被偷，也便是两个事件都知足，因此是P(A1B)
同理，能够获得P(A2B),P(A3B)
又因这三个小偷两两互斥，表示不会同时去偷。因此被偷的几率是：

P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)
固然按照条件几率或者乘法公式展开：
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) （*）

PS: P(Ai),P(B|Ai)是已知的
问：是否是有想展开为：

P(B)=P(B)P(A1|B)+P(B)P(A1|B)+P(B)P(A1|B)的冲动？

固然这个式子是没错的，可是体现不了这个问题的解法：分阶段。

（*）式子体现的是问题分为两个阶段：
1）选人，分割问题
2）计算分割的子问题的条件几率

对应的这里来即是：
1）选小偷，谁去偷
2）选定的小偷做为条件，那么他去偷的条件几率是什么

因此将问题拆解为阶段的问题即是全几率公式针对的问题。

贝叶斯公式

贝叶斯公式有意思极了，简单说就是逆全概公式。

前面是问整体看来被偷的几率是多少，如今是知道了整体被偷了这件事，几率并不知道，问你个更有意思的问题，像是侦探断案：是哪一个小偷的偷的，计算每一个小偷偷的几率。

这个特性用在机器学习，人工智能领域至关好用。

也就是求：P(Ai|B)=P(AiB)P(B)
Ai:小偷i干的；B:村子被偷了
首先是一个淳朴的条件几率的展开。
分母里出现了P(B),刚刚讨论的全概公式拿来用一用！
而P(AiB)=P(Ai)⋅P(B|Ai)
对应到上面的例子就鲜活一些：村子被偷了，求Ai偷的几率。

天然如今条件是P(B)，分子变形为P(AiB)=P(Ai)⋅P(B|Ai)，是由于假定就是Ai偷的，这是一个已知的几率。
分母P(B)=∑ni=1P(Ai)P(B|Ai)
20161223 update:

除了上面的思路外，一般须要注意的是分阶段意味着时间的前后。在先进行的事件的基础上进行后面的事件，就很容易计算几率：P(AB)=P(A)P(B|A)这种。

因此当咱们须要计算先验几率，即先发生的时间的几率时，老是想着用上面的这个类型来计算，且是经过条件几率进行过渡。