Jensen不等式的形式有不少种,这里重点关注有关于随机变量指望的形式。函数
Jensen不等式:已知函数\(\phi: \mathbb{R}\to\mathbb{R}\)为凸函数,则有\(\phi[\text{E}(X)]\leq \text{E}[\phi(X)]\)。spa
有时候,须要用到离散形式的Jensen不等式:\(\{a_j\}\)是一系列非负权重,知足\(\sum_{j=1}^m a_j=1\),\(\{x_j\}\)是一系列任意实数,对于凸函数\(\phi: \mathbb{R}\to\mathbb{R}\),有it
只需将原指望形式的Jensen不等式中的随机变量取成离散的,并令\(P(X=x_j)=a_j\),便可获得上式。class
将不等式两边的指望都取为条件指望的形式,不等式依然成立。变量
条件Jensen不等式:已知函数\(\phi: \mathbb{R}\to\mathbb{R}\)为凸函数,则有\(\phi[\text{E}(X|Y)]\leq \text{E}[\phi(X)|Y]\)。im
来看一个应用:在\(\text{Var}(X)<\infty\)的条件下,利用条件Jensen不等式,能够证实\(\text{Var}[\text{E}(X|Y)]\leq \text{Var}(X)\)。di
证实以下:display
两边取指望后,可得cas
得证。math
许许多多不等式,均可以利用Jensen不等式得出,这里整理一些例子。
将\(\phi\)直接取为简单的凸函数或凹函数,就能够获得许多不等式:
Lyapunov不等式:对于任意\(0\leq p \leq q\),有
证实过程,只需利用凸函数\(\phi(x)=x^{q/p}\),和随机变量\(Y=|X|^q\)便可。
几何均值不等式(Geometric Mean Inequality):\(\{a_j|\)是一系列非负权重,知足\(\sum_{j=1}^m a_j=1\),\(\{x_j\}\)是一系列任意的非负实数,则有
证实要用到离散形式的Jensen不等式,将\(\phi\)取为对数函数便可,因为对数函数是凹函数,不等式需反向。
若是取\(m=2\),\(a_1=a_2=\dfrac{1}{2}\),就是在中学阶段熟悉的\(\sqrt{x_1 x_2}\leq \dfrac{x_1+x_2}{2}\),即几何均值小于等于代数均值。
对于一系列的任意实数\(x_j\),有
当\(m=2\)时,记\(C_r=\max\{1,2^{r-1}\}\),该不等式可写为
所以也叫\(C_r\)不等式。
证实一样需用到离散形式Jensen不等式。若\(r\gt 1\),取\(a_j=1/m\),\(\phi(x)=|x|^r\),便可得证。若\(r\leq 1\),记\(\sum_{j=1}^m |x_j|=A\),取\(b_j=|x_j|/A\),则\(b_j\in [0,1]\),所以有\(b_j\leq b_j^r\),所以
再利用\(|\sum_{j=1}^m x_j |\leq \sum_{j=1}^m |x_j|=A\),便可得证。
范数不等式:对于\(0\lt p\leq q\),有
取\(r=p/q\leq 1\),\(y_j=|x_j|^q\),利用上一节中的\(C_r\)不等式,可得
将\(x_j\)代回并两边取\(1/p\)次方便可得证。