Jensen不等式讲解与证明

琴生不等式，是由丹麦数学家约翰•延森（Johan Jensen）命名，也成为Jensen不等式或者詹森不等式。码字不易，喜欢请点赞，谢谢！！！有问题随时欢迎交流。

首先，对于如凸函数 $f(x)$f(x)，对任意 $0<=\alpha <=1$0<=α<=1，有如下不等式成立：
$\alpha f(x)+(1-\alpha)f(y)>=f(\alpha x+(1-\alpha)y)$αf(x)+(1−α)f(y)>=f(αx+(1−α)y)
如下图所示。

现在我们证明对于凸函数 $f(x)$f(x)来说，对任意 $\lambda _j>=0$λj​>=0，并且有 $\sum_{j=1}^{J}\lambda _j=1$∑j=1J​λj​=1，如下不等式成立：
$\sum_{j=1}^{J}\lambda _jf(x_j)>=f(\sum_{j=1}^{J}\lambda _jx_j)$j=1∑J​λj​f(xj​)>=f(j=1∑J​λj​xj​)
上面这个不等式就是著名的Jensen不等式。

证明：下面是Jensen不等式的证明
（1）首先对于 $J=1$J=1，很明显不等式成立；
（2）对于 $J=2$J=2，由上面的凸函数图可知， $\lambda _1f(x_1)+\lambda _2f(x_2)>=f(\lambda _1x_1+\lambda _2x_2)$λ1​f(x1​)+λ2​f(x2​)>=f(λ1​x1​+λ2​x2​)，不等式成立；
（3）假设当 $J=n$J=n时，不等式成立，即 $\sum_{j=1}^{n}\lambda _jf(x_j)>=f(\sum_{j=1}^{n}\lambda _jx_j)$∑j=1n​λj​f(xj​)>=f(∑j=1n​λj​xj​)
下面证明 $J=n+1$J=n+1时不等式成立即可：
$\begin{aligned} \sum_{j=1}^{n+1}\lambda _jf(x_j) = &\lambda _{n+1}f(x_{n+1})+\sum_{j=1}^{n}\lambda _jf(x_j)\\ &=\lambda _{n+1}f(x_{n+1})+({1-\lambda _{n+1}})\sum_{j=1}^{n}\frac{\lambda _j}{1-\lambda _{n+1}}f(x_j)\\ &>=\lambda _{n+1}f(x_{n+1})+({1-\lambda _{n+1}})f(\sum_{j=1}^{n}\frac{\lambda _j}{1-\lambda _{n+1}}x_j)\\ &>=f(\lambda _{n+1}x_{n+1}+({1-\lambda _{n+1}})\sum_{j=1}^{n}\frac{\lambda _j}{1-\lambda _{n+1}}x_j)\\ &=f(\lambda _{n+1}x_{n+1}+\sum_{j=1}^{n}\lambda _jx_j)\\ &=f(\sum_{j=1}^{n+1}\lambda _jx_j)\\ \end{aligned}$j=1∑n+1​λj​f(xj​)=​λn+1​f(xn+1​)+j=1∑n​λj​f(xj​)=λn+1​f(xn+1​)+(1−λn+1​)j=1∑n​1−λn+1​λj​​f(xj​)>=λn+1​f(xn+1​)+(1−λn+1​)f(j=1∑n​1−λn+1​λj​​xj​)>=f(λn+1​xn+1​+(1−λn+1​)j=1∑n​1−λn+1​λj​​xj​)=f(λn+1​xn+1​+j=1∑n​λj​xj​)=f(j=1∑n+1​λj​xj​)​
因此，当 $J=n+1$J=n+1时，不等式成立。

通过上面三步的即证明了Jensen不等式成立。

同样可以证明：对于凹函数 $f(x)$f(x)来说，对任意 $\lambda _j>=0$λj​>=0，并且有 $\sum_{j=1}^{J}\lambda _j=1$∑j=1J​λj​=1，如下不等式成立：
$\sum_{j=1}^{J}\lambda _jf(x_j)<=f(\sum_{j=1}^{J}\lambda _jx_j)$j=1∑J​λj​f(xj​)<=f(j=1∑J​λj​xj​)