《具体数学》1.3递归(三)

文章开头:先吐槽一下长春的天气，冬天是一星期有6天在下雪，如今算是夏天了吧，动不动下雨下冰雹，天气变化的有点快，还有就是学校的妹子，分为女神和女屌丝，女神通常在长春流行穿风衣，女屌丝通常流行穿牛仔系列，最后吐槽一下，我曾经的喜欢过的人变了，唏嘘不已，好了吐槽完毕，这一篇介绍一下递归的最后一个故事Josephus Circle(约瑟夫环问题),这个部分有点多估计得分两次了。。。。

1.3Josephus Circle(约瑟夫环问题)

这本书仍是老规矩，先以故事引出问题：这最后的例子是一个古老问题的变型，它是以公元一世纪著名历史学家Flavius Josephs命名的。传说是Josephus的数学才干让他逃过一劫。
在犹太人和罗马人战争期间，Josephs等41个犹太反抗者陷入包围。他们宁死不作俘虏，决定围成一个圆圈，每次由剩下的人中的第三个自杀，直到全部人都死去为止。
Josephus和他的1个朋友认为，自杀是愚蠢的。所以他很快地算出死亡之圈中他俩应该站的位置（固然，是两个应该最后自杀的位置，没有人监督他们是否自杀，因此你懂得）

咱们的问题是，从编号为1到n的围成一圈的人开始，依次排除剩下的人中的第2个（注意：是从当前“指针”开始），直到仅剩1个幸存者。下面是n = 10的状况：

排除次序是2，4，6，8，10，3，7，1，9。所以5幸存。
问题目标是：如何肯定幸存者的号码J (n)？

咱们刚才看到J(10)=5.咱们可能猜想当n是偶数时J(n)=n/2;并且情形n=2支持了猜想:J(2)=1

但对于n=4,n=6猜想失败,从上面的表看来，J(n)都是奇数，所以将其做为新的猜测：事实上第1轮筛选就排除了全部的偶数，所以猜测成立。
另外还观察到，若n是偶数，那么在作完第1轮筛选以后，剩下的情形和最初的开始状况是很是相似的，可是人数要少一半，并且编号也有所不一样。
假设原先有2n我的，在第1轮筛选以后，剩下的状况是

此时圆圈剩下了n我的：一、三、五、七、……、2n – 三、2n – 1。并且“指针”又回到了1的位置。这与最初有n我的的情形是相同的，区别仅在于编号有变化。

编号的变化会带来什么影响?
从编号1开始，下1个被排除的人是3，其后的筛选过程与n我的的情形一致：
当前的情形：二、四、六、八、……（差为2的等差数列）
 n我的的情形： 三、七、十一、15（差为4的等差数列）
相同点：人数相同
不一样点：编号变为2倍减1
注意到，幸存者J(2n)必然从当前剩下的人中出现，所以：
J(2n) = 2J(n) – 1

其实，咱们对于人数为奇数页能够获得J(2n+1)=2J(n)+1

到目前为止，咱们获得了两个“递归”色彩的式子：
J(2n) = 2J(n) - 1
J(2n + 1) = 2J(n) + 1
上面涵盖了全部“偶数”和“奇数” ，即全部正整数，但还缺乏boundary value，做为“递归系统”的第一推进力。
很简单，J(1) = 1（最后剩下1我的，没必要再筛选）。这样就获得了完整的J的递归方程。
这个递归方程的效率很是高，由于每次将n缩小至少1/2。例如，咱们用19次就能计算出J(1000000)：

但若是像上面那样就完 了，这本书真的很厉害，有好多新的思想和套路

可是不管从数学的完美意义，仍是实际的计算效率上来考虑，最好找到闭形式解。咱们仍然使用“猜测证实”思路来求解封闭形式解。首先根据递归方程，对较小的n创建J(n)表：

能够发现什么规律？(若把n记为形式n=2^m+l,其中2^m是不超过n的2的最大幂，而l则是留下的量)
一、每隔若干个位置就从1开始
二、每次从1开始的子序列都是级差为2的等差数列
三、每一个子序列的长度是递增的
继续观察，能够看到：
一、第1子序列长度为1，此后长度为二、四、八、……
（谨慎怀疑子序列长度构成比值为2的等比数列！！）
二、若是上述怀疑成立，那么咱们只要知道当前n处于第几个子序列的第几个位置，就可以从1逐渐累加获得J(n)了！！！
继续找n和J(n)的数量关系：
假设n以前已经有m个子序列，而n是第(m+1)个子序列的第l个位置，那么显然有
J(n) = 1 + 2(l - 1)
n与m、l之间有什么关系呢？
n以前的整数数量为(1 + 2 + 4 + …… + 2^m-1) + (l - 1)，所以有
n = (2^m  – 1) + l = 2^m + (l – 1)

最后咱们能够猜想获得封闭形式为:J(2^m+l) = 2l + 1(m>=0,0<=l<2^m)

(注意，若2^m<=n<2^m+1,则剩余部分l=n-2^m知足0<=l<2^m+1-2^m=2^m)

要证实:J(2^m+l) = 2l + 1(m>=0,0<=l<2^m)这确定要用到数学概括法了,可是这里是对m概括。当m=0时，咱们必定有l=0;

所以递归式基础化为J(1)=1,概括步还分为两部分，依赖于l是偶数仍是奇数，若m>0和2^m+l=2n,则 l是偶数并由式J(2n) = 2J(n) - 1和概括假设可得

J(2^m+l)=2J(2^m-1+l/2)-1=2(2l/2+1)-1=2l+1,这刚好是咱们要的，同理可得，奇数情形,完成概括，此次咱们计算J(100),此时咱们获得100=2^6+36,因此J(100)=2*36+1=73(其实，在这里我已经以为很厉害了，下面的更厉害)

大师发现解中2的幂起了重要做用，因此天然要看二进制表示n和J(n)，假设n的二进制展开为

n=(bmbm-1...b1b0)2;

也就是说,n=bm2^m+bm-12^m-1+...+b12+b0,其中每一个bi是0或1，且其中的第一位bm是1.想到n=2^m+1,咱们相继获得

n=(1bm-1bm-2...b1b0)2,l=(0bm-1bm-2...b1b0)2,2l=(bm-1bm-2...b1b01)2,2l+1=(bm-1bm-2...b1b01)2,J(n)=(bm-1bm-2...b1b0bm)2

最后一步是由J(n)=2l+1和bm=1而得出的因此咱们证实了J((bmbm-1...b1b0)2)=(bm-1...b1b0bm)2;

也就是说,以计算机程序设计的用语，循环左移一位咱们从n取得J(n)难以想象，例如若n=100=(1100100)2,则J(n)=J((1100100)2)=(1001001)2,它是64+8+1=73。

好了先就写到这了，感受这本书在数学上真的是下了不少功夫，一步一步的引导咱们去阅读与思考，有点上瘾了，我怎么了，等过几天，再把另外一部分补上，由于有点多，讲约瑟夫这块。。。