<<具体数学>>1.2递归(二)

开头：今天刚考完试，还有就是下雨就不太想出去了，长春也有点冷，咱们接着上次写的继续写，我也把这个发在其余博客上了，感受o(╯□╰)o，没人看啊，哈哈，自嘲结束，今天写递归的下一节平面中的直线(Lines in the Plane)
1.2平面中的直线(Lines in the Plane)

不黑不吹，这本书没一节的故事也是很吸引人的:一我的用刀在乎大利馅饼上作n次直线切割，能把馅饼切成多少份？或者，较正式地说:由平面中n条直线肯定的最大区域数Ln是多少?瑞士数学家Jacob Steiner在1826年首先予以解决（图论、算法中的Steiner树以其名字命名，该问题是NPC的）

套路来了，其实就是老的套路:

(1)n=0:L0=1

(2)n=1:L1=2

(3)n=2:L2=4

 

记住从最小的开始，没有直线的平面具备1个区域;有1条直线的平面具备2个区域;有2条直线的平面有4个区域;但当咱们加入第3条直线，咱们当即发现，无论如何放前2条直线，它至多能切3个老区域；

 

所以L3=4+3=7是咱们能够获得的结果.

冷静一下.....仔细想一想.......

直觉上来看，直线对区域的剖分，表现为在区域中加上了1条分界线，也正是区域边界与直线相交造成的一段

若是将直线划分红不一样的段（闭区段和开区段都算），则每一个段剖分1个区域，每剖分1个区域，新增长1个区域。

所以，新增长的区域数应该等于新直线被划分的段数!!!

每条直线至多相交一次，所以新直线最多与原来的n - 1直线相交n – 1次，造成n个段（注意两端开放的段）

倒着反推再反推，新直线最多剖分出来n个新的区域!!!

因此咱们能够获得

Ln ≤ Ln-1 + n

和上篇的汉诺塔同样，是时候拿出数学概括法了，易证咱们能达到此公式中的等式，咱们只要使第n条直线不和其余任何直线平行(所以它和其余任何直线相交),且使它不经过任何存在的交点(它和其余任何直线交于不一样位置),因此递归式为

L0=1;

Ln=Ln-1+n(n>0)

下面来解这个递归式:

Ln=Ln-1+n;

  =Ln-2+(n-1)+n

  =L0+1+2+....+(n-2)+(n-1)+n

  =1+Sn

其中Sn=1+2+3+...+(n-1)+n。

 

 

这些值也称为三角数，由于Sn是n行三角形阵中球状针孔个数.例如，一般4行阵    *  *  *  *

                                                                       *  *  *

                                                                         *  *

                                                                           *

有S4=10个针孔

小学其实咱们就会算Sn的和,因此Ln=n*(n+1)/2+1(n>=0)

要进行严格的数学概括证实，关键概括步是Ln=Ln-1+n=1/2n(n+1)+1

关于书上讲的闭形式：对一个量f (n)的表达式而言，若是可以最多用固定次数（这次数独立于n ）的“经常使用”标准运算来算出结果，则称其为封闭形式的。So,

1、递归方程不是封闭形式，由于求解次数依赖于n。

2、咱们获得的Tn和Ln的结果是封闭形式的：

Tn ：1次exp，1次—

Ln ：2次+，1次× ，1次÷

3、1 + 2 + … + n之类的和不是封闭的（用…省略了中间的加法计算，其次数与n有关）

4、n(n＋1)/2等表达式是封闭的（ 1次+，1次×，1次÷）

5、n!是否是呢？

关于n!等封闭形式的例外情形：

简单闭形式的总数是有限的，而一些经常使用、重要的递归方程并无简单闭形式

为了更好地表达数学运算结果，咱们就增长了一些“经常使用”的标准运算，以扩展封闭形式的范围。例如阶乘n! （尽管它的等价形式1·2·…·n并非封闭的），也就是说计算阶乘被视为1次运算。

平面中的直线—变形

下面考虑Lines in Plane问题的变形：假设用弯曲线代替直线，并且每条弯曲线都含有一个“锐角的锯齿形转角”，那么平面中n条弯曲线围成的区域最多有多少呢？

先来观察一下n = 1和n = 2的情形：

 

 

容易看出：每加入1条弯曲线，就像加入了2条直线，只是这“两条”直线在交点处没有延伸，所以致使了区域2、3、4的合并（3变1）：

 

每加入1条新弯曲线，在新增长区域的数量中都要至少减去2。同时，若是把拐点地放到一个开区域，使得隐去的直线不会与原来的直线相交，咱们只会减小2个区域

也就是说，新弯曲线增长的区域数为2n – 2 （先像2条直线同样考虑区域的剖分，获得2n，再考虑区域的合并，获得-2）

Zn = Zn-1 + 2n - 2

或者，先统一地像2n条直线同样考虑区域的剖分，获得L2n；再考虑区域的合并，获得-2n，因此

Zn = L2n – 2n

= 2n(2n + 1) / 2 + 1 – 2n

= 2n2 – n + 1

对Ln和Zn的封闭形式进行比较，咱们发现对于大的n，有下面的关系，

所以，弯曲线状况获得的区域数目大概是直线状况的4倍。（第9章会讨论如何分析整函数的近似状态，符号‘～’的定义可见9.1节，其实学太高数的应该知道这什么。。。。）

总结:其实这小节不是很难的，下一节就有点难了，我但愿我能坚持写下去，也能坚持把书看完，虽然很吃力，但我更想看高老头的TAOCP,应该算是神做了，号称计算机中的圣经啊，昨天母亲节，谢谢个人母亲。。你们也应该多去关心一下家人，加油，我但愿我每星期都能写那么一点点。。。