【NOIP2018Day1T2】【洛谷P5020】货币系统

问题描述

在网友的国度中共有 n 种不一样面额的货币，第 i 种货币的面额为 a[i]，你能够假设每一种货币都有无穷多张。为了方便，咱们把货币种数为 n、面额数组为 a[1..n] 的货币系统记做 (n,a)。

在一个完善的货币系统中，每个非负整数的金额 x 都应该能够被表示出，即对每个非负整数 x，都存在 n 个非负整数 t[i] 知足 a[i]×t[i] 的和为 x。然而， 在网友的国度中，货币系统多是不完善的，便可能存在金额 x 不能被该货币系统表示出。例如在货币系统 n=3, a=[2,5,9] 中，金额 1,3 就没法被表示出来。

两个货币系统 (n,a) 和 (m,b) 是等价的，当且仅当对于任意非负整数 x，它要么都可以被两个货币系统表示出，要么不能被其中任何一个表示出。

如今网友们打算简化一下货币系统。他们但愿找到一个货币系统 (m,b)，知足 (m,b) 与原来的货币系统 (n,a)等价，且 m 尽量的小。他们但愿你来协助完成这个艰巨的任务：找到最小的 m。

输入格式

输入文件的第一行包含一个整数 T，表示数据的组数。

接下来按照以下格式分别给出 T 组数据。 每组数据的第一行包含一个正整数 n。接下来一行包含 n 个由空格隔开的正整数 a[i]。

输出格式

输入文件的第一行包含一个整数 T，表示数据的组数。

接下来按照以下格式分别给出 T 组数据。 每组数据的第一行包含一个正整数 n。接下来一行包含 n 个由空格隔开的正整数 a[i]。

样例输入

2
4
3 19 10 6
5
11 29 13 19 17

样例输出

2
5

提示

在第一组数据中，货币系统 (2,[3,10]) 和给出的货币系统 (n,a) 等价，并能够验证不存在 m<2 的等价的货币系统，所以答案为 2。 在第二组数据中，能够验证不存在 m<n 的等价的货币系统，所以答案为 5。

数据范围

题解

研究一下样例，发现新货币系统是旧货币系统的子集。因而大胆猜测：新货币系统必定是旧货币系统删掉几种面额的货币，而且被删掉的面额能够被没被删掉的面额表示出来。

（遵循大胆猜测不用证实原则的大佬自动跳过这段）

---

 证实：反证法

    反正就是这样

    证实完毕

　　若是以上结论不成立，无非存在如下两种状况：

　　　　一、新货币系统中存在旧货币系统所没有的面额，记为a[i]，a[i]不能被旧货币系统表示出来

　　　　二、新货币系统中存在旧货币系统所没有的面额，记为a[j], a[j]可以被旧货币系统表示出来

　　对于第一种状况，显然新货币系统能够表示出旧货币系统所表示不出的面额，由于a[i]自己就是一种旧货币系统所表示不出的面额，因而这种状况不成立。

　　对于第二种状况，显然a[j]是多余的，由于a[j]可以被表示出来，因此须要用到a[j]时能够用表示出a[j]的这些面额代替，因此a[j]能够删掉，因而这种状况也不成立。

　　因此，上述结论：新货币系统必定是旧货币系统删掉几种面额的货币，而且被删掉的面额能够被没被删掉的面额表示出来成立。

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那么咱们只须要求给订货币系统最多能够删掉多少种面额。

设f[i]表示面额为i可否被表示出来，则

f[i]=f[i]|f[j](1<=j<k,a[k]<i)

在动规循环时顺便计算f[i]==false && i∈a的个数，用总数减去f[i]==false && i∈a的个数，就是答案

时间复杂度 5*10⁷

 

 

 1 #include <algorithm>
 2 #include <cstring>
 3 #include <cstdio>
 4 int T,n,m,a[105];
 5 bool f[25005];
 6 int main()
 7 {
 8     
 9     int i,j,k;
10     scanf("%d",&T);
11     while (T--)
12     {
13         scanf("%d",&n);
14         for (i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
15         m=n;
16         std::sort(a+1,a+n+1);
17         memset(f,0,sizeof(f));
18         f[a[1]]=1;  k=1;
19         for (i=a[1]+1;i<=a[n];i++)
20         {
21             for (j=1;j<=k && !f[i];j++)
22               f[i]=f[i]|f[i-a[j]];  
23             if (i==a[k+1])
24             {
25                 k++;
26                 if (f[i]) m--;
27                 else f[i]=1;
28             }
29         }
30         printf("%d\n",m);
31     }
32     return 0;
33 }