史上最清晰--O(n)时间求字符串的最长回文子串解读

    真的很烦有些人，想写博客么，又很差好写，最起码本身好好看一遍，纠纠错，写写感悟，只顾本身看懂而不加以探讨，那你写博客还有什么意义呢？更况且，看不看的懂还两说，接下来就为你们解释一下网上各类搜索排名靠前的关于O(n)时间求字符串的最长回文子串的算法，也就是Manacher's Algorithm。说真的，大部分解释真的很难看懂他们到底在说些什么。

    你们都知道，求回文串时须要判断其奇偶性，也就是求aba 和abba 的算法略有差距。然而，这个算法作了一个简单的处理，很巧妙地把奇数长度回文串与偶数长度回文串统一考虑，也就是在每一个相邻的字符之间插入一个分隔符，串的首尾也要加，固然这个分隔符不能再原串中出现，通常能够用‘#’或者‘$’等字符。例如：
原串：abaab
新串：#a#b#a#a#b#
这样一来，原来的奇数长度回文串仍是奇数长度，偶数长度的也变成以‘#’为中心奇数回文串了。
接下来就是算法的中心思想，用一个辅助数组Radius[ ]，记录以每一个字符为中心的最长回文半径，也就是R[i]记录以Str[i]字符为中心的最长回文串半径。R[i]最小为1，此时回文串为Str[i]自己。
咱们能够对上述例子写出其R数组，以下
新串： # a # b # a # a # b #
R[] : 1 2 1 4 1 2 5 2 1 2 1
咱们能够证实R[i]-1 就是以Str[i]为中心的回文串在原串当中的长度。
证实：
一、显然L=2*R[i]-1 即为新串中以Str[i]为中心最长回文串长度。

二、以Str[i]为中心的回文串必定是以#开头和结尾的，例如“#b#b#”或“#b#a#b#”因此L 减去最前或者最后的‘#’字符就是原串中长度的二倍，即原串长度为(L-1)/2，化简的R[i]-1。依次从前日后求得R数组就能够了，这里用到了DP(动态规划)的思想, 也就是求R[i] 的时候，前面的R[]值已经获得了，咱们利用回文串的特殊性质能够进行一个大大的优化。

敲黑板，划重点！下面是该算法的核心思想。

如何去求这个R数组，是求解这道题的关键。咱们使用两个辅助变量 id 和 mx ，其中 id 为已知的最长的回文子串的中心位置，那么 mx 则为 id + R[id]，也就是这个子串的右边界。

而后当你用变量 i 依次循环的时候，会有如下结论：

若是mx > i，那么R[i] >= MIN(R[2 * id - i], mx - i)

也就是说：

//记j = 2 * id - i，也就是说 j 是 i 关于 id 的对称点(j = id - (i - id))
if (mx - i > R[j]) 
    R[i] = R[j];
else /* R[j] >= mx - i */
    R[i] = mx - i; // R[i] >= mx - i，取最小值，以后再匹配更新。

一图胜千言吧，看图说话：

当 mx - i > R[j] 的时候，以S[j]为中心的回文子串包含在以S[id]为中心的回文子串中，因为 i 和 j 对称，以S[i]为中心的回文子串必然包含在以S[id]为中心的回文子串中，因此必有 R[i] = R[j]，见下图。

当 R[j] >= mx - i 的时候，以S[j]为中心的回文子串不必定彻底包含于以S[id]为中心的回文子串中，可是基于对称性可知，下图中两个绿框所包围的部分是相同的，也就是说以S[i]为中心的回文子串，其向右至少会扩张到mx的位置，也就是说 R[i] >= mx - i。至于mx以后的部分是否对称，就只能老老实实去匹配了。

 

对于 mx <= i 的状况，没法对 P[i]作更多的假设，只能P[i] = 1，而后再去匹配了.

基于以上思路，奉出JAVA代码

public class LongestPalindrome {
	
	public static void main(String[] args){
		Scanner scanner = new Scanner(System.in);
		while(scanner.hasNext()){
			String s = scanner.next();
			System.out.println(CalPalindrome(BuildStr(s)));
		}
	}
	
	public static char[] BuildStr(String s){
		StringBuilder sb = new StringBuilder(s);
		char[] ch = new char[2*s.length()+1];
		for (int i = 1; i <= ch.length; i++) {
			if(i%2==0) ch[i-1] = sb.charAt(i/2-1);
			else ch[i-1] = '#';
		}
		return ch;
	}
	
	public static int CalPalindrome(char[] ch){
		int mx = 0;
		int id = 0;
		int[] R = new int[ch.length];
		for (int i = 0; i < R.length; i++) {
			R[i] = 1;//由于数组中最小的值也是1，先初始化一下
		}
		for (int i = 1; i < ch.length; i++) {
			R[i] = mx>i?Math.min(R[2*id-i], mx-i):1;
			while(i-R[i]>=0 && i+R[i]<ch.length && ch[i+R[i]]==ch[i-R[i]]) R[i]++;
			if((i+R[i])>mx){
				mx = i+R[i];
				id = i;
			}
		}
		Arrays.sort(R);
		return R[R.length-1]-1;
	}
}