Manacher's ALGORITHM: O(n)时间求字符串的最长回文子串

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源于这两篇文章： 
http://blog.csdn.net/ggggiqnypgjg/article/details/6645824
http://zhuhongcheng.wordpress.com/2009/08/02/a-simple-linear-time-algorithm-for-finding-longest-palindrome-sub-string/

这个算法看了三天，终于理解了，在这里记录一下本身的思路，省得之后忘了又要想好久- -.

首先用一个很是巧妙的方式，将全部可能的奇数/偶数长度的回文子串都转换成了奇数长度：在每一个字符的两边都插入一个特殊的符号。好比 abba 变成 #a#b#b#a#， aba变成 #a#b#a#。 为了进一步减小编码的复杂度，能够在字符串的开始加入另外一个特殊字符，这样就不用特殊处理越界问题，好比$#a#b#a#（注意，下面的代码是用C语言写就，因为C语言规范还要求字符串末尾有一个'\0'因此正好OK，但其余语言可能会致使越界）。

下面以字符串12212321为例，通过上一步，变成了 S[] = "$#1#2#2#1#2#3#2#1#";

而后用一个数组 P[i] 来记录以字符S[i]为中心的最长回文子串向左/右扩张的长度（包括S[i]），好比S和P的对应关系：

S  #  1  #  2  #  2  #  1  #  2  #  3  #  2  #  1  #
P  1  2  1  2  5  2  1  4  1  2  1  6  1  2  1  2  1
(p.s. 能够看出，P[i]-1正好是原字符串中回文串的总长度）

那么怎么计算P[i]呢？该算法增长两个辅助变量（其实一个就够了，两个更清晰）id和mx，其中id表示最大回文子串中心的位置，mx则为id+P[id]，也就是最大回文子串的边界。

而后能够获得一个很是神奇的结论，这个算法的关键点就在这里了：若是mx > i，那么P[i] >= MIN(P[2 * id - i], mx - i)。就是这个串卡了我很是久。实际上若是把它写得复杂一点，理解起来会简单不少：

//记j = 2 * id - i，也就是说 j 是 i 关于 id 的对称点。
if  (mx - i > P[j])  
    P[i] = P[j];
else  /* P[j] >= mx - i */
    P[i] = mx - i; // P[i] >= mx - i，取最小值，以后再匹配更新。

固然光看代码仍是不够清晰，仍是借助图来理解比较容易。

当 mx - i > P[j] 的时候，以S[j]为中心的回文子串包含在以S[id]为中心的回文子串中，因为 i 和 j 对称，以S[i]为中心的回文子串必然包含在以S[id]为中心的回文子串中，因此必有 P[i] = P[j]，见下图。


当 P[j] >= mx - i 的时候，以S[j]为中心的回文子串不必定彻底包含于以S[id]为中心的回文子串中，可是基于对称性可知，下图中两个绿框所包围的部分是相同的，也就是说以S[i]为中心的回文子串，其向右至少会扩张到mx的位置，也就是说 P[i] >= mx - i。至于mx以后的部分是否对称，就只能老老实实去匹配了。


对于 mx <= i 的状况，没法对 P[i]作更多的假设，只能P[i] = 1，而后再去匹配了。

因而代码以下：

//输入，并处理获得字符串s
int  p[1000], mx = 0, id = 0;
memset(p, 0,   sizeof(p));
for  (i = 1; s[i] != '\0'; i++) {
    p[i] = mx > i ? min(p[2*id-i], mx-i) : 1;
      while  (s[i + p[i]] == s[i - p[i]]) p[i]++;
      if  (i + p[i] > mx) {
        mx = i + p[i];
        id = i;
    }
}
//找出p[i]中最大的

OVER.

#UPDATE@2013-08-21 14:27
@zhengyuee 同窗指出，因为 P[id] = mx，因此 S[id-mx] != S[id+mx]，那么当 P[j] > mx - i 的时候，能够确定 P[i] = mx - i ，不须要再继续匹配了。不过在具体实现的时候即便不考虑这一点，也只是多一次匹配（必然会fail），可是却要多加一个分支，因此上面的代码就不改了。

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