浮点数二进制表示

在讨论浮点数以前，先看一下整数在计算机内部是怎样表示的。

　　int num=9;

上面这条命令，声明了一个整数变量，类型为int，值为9（二进制写法为1001）。普通的32位计算机，用4个字节表示int变量，因此9就被保存为00000000 00000000 00000000 00001001，写成16进制就是0x00000009。

那么，咱们的问题就简化成：为何0x00000009还原成浮点数，就成了0.000000？

下面一步一步的揭晓答案。

先来看一个公式，计算浮点数的公式：

根据国际标准IEEE 754，任意一个二进制浮点数V能够表示成下面的形式：

　　

　　（1）(-1)^s表示符号位，当s=0，V为正数；当s=1，V为负数。

　　（2）M表示有效数字，大于等于1，小于2。

　　（3）2^E表示指数位。

举例来讲，十进制的5.0，写成二进制是101.0，至关于1.01×2^2。那么，按照上面V的格式，能够得出s=0，M=1.01，E=2。

十进制的-5.0，写成二进制是-101.0，至关于-1.01×2^2。那么，s=1，M=1.01，E=2。

IEEE 754规定，对于32位的浮点数，最高的1位是符号位s，接着的8位是指数E，剩下的23位为有效数字M。

对于64位的浮点数，最高的1位是符号位S，接着的11位是指数E，剩下的52位为有效数字M。

 

IEEE 754对有效数字M和指数E，还有一些特别规定。

前面说过，1≤M<2，也就是说，M能够写成1.xxxxxx的形式，其中xxxxxx表示小数部分。IEEE 754规定，在计算机内部保存M时，默认这个数的第一位老是1，所以能够被舍去，只保存后面的xxxxxx部分。好比保存1.01的时候，只保存01，等到读取的时候，再把第一位的1加上去。这样作的目的，是节省1位有效数字。以32位浮点数为例，留给M只有23位，将第一位的1舍去之后，等于能够保存24位有效数字。

至于指数E，状况就比较复杂。

首先，E为一个无符号整数（unsigned int）。这意味着，若是E为8位，它的取值范围为0~255；若是E为11位，它的取值范围为0~2047。可是，咱们知道，科学计数法中的E是能够出现负数的，因此IEEE 754规定，E的真实值必须再减去一个中间数，对于8位的E，这个中间数是127；对于11位的E，这个中间数是1023。

好比，2^10的E是10，因此保存成32位浮点数时，必须保存成10+127=137，即10001001。

而后，指数E还能够再分红三种状况：

（1）E不全为0或不全为1。这时，浮点数就采用上面的规则表示，即指数E的计算值减去127（或1023），获得真实值，再将有效数字M前加上第一位的1。

（2）E全为0。这时，浮点数的指数E等于1-127（或者1-1023），有效数字M再也不加上第一位的1，而是还原为0.xxxxxx的小数。这样作是为了表示±0，以及接近于0的很小的数字。

（3）E全为1。这时，若是有效数字M全为0，表示±无穷大（正负取决于符号位s）；若是有效数字M不全为0，表示这个数不是一个数（NaN）。

 

下面，让咱们回到一开始的问题：为何0x00000009还原成浮点数，就成了0.000000？

首先，将0x00000009拆分，获得第一位符号位s=0，后面8位的指数E=00000000，最后23位的有效数字M=000 0000 0000 0000 0000 1001。

因为指数E全为0，因此符合上一节的第二种状况。所以，浮点数V就写成：

　　V=(-1)^0×0.00000000000000000001001×2^(-126)=1.001×2^(-146)

显然，V是一个很小的接近于0的正数，因此用十进制小数表示就是0.000000。