玩玩24点（中）

时间  2020-01-16
标签 玩玩 24点 繁體版
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《玩玩24点》系列：html

序

在上篇中，我用上位机程序遍历了4个1~13的数的1820种组合，经过递归穷举计算出其中1362组的24点接法，并转换为二进制形式，放到单片机程序中，减小了单片机24点游戏程序的计算量，得到了不错的游戏体验。数据结构

上篇的最后留了一个疯狂暗示，但时至现在我也没有实现出来，由于写完上篇事后一直在准备各类比赛和考试，这两天也在写AVR单片机教程，一直都没有空去管它。函数

写这篇中篇的缘由，是几个没有做业写甚至不须要高考的同窗在玩一种24点游戏的升级版——用计算器按出5个1~20的随机整数，经过四则运算得到不超过50的最大有理数。通过一整个晚自修的手算后，他们想起我以前写的24点，来问我他们算出的是否是上界。性能

我写算法注重可复用性，毕竟不是std::都不写的OI。因而我很快就在上次程序的基础上写成了他们要的算法。测试

这个程序，以及人机计算能力的对比，虽然毫无悬念，可是先放一边。我对上篇所写的内容有一些更深的思考。优化

算式的可读性

实际上这个24点程序还远不完美。单片机常常在屏幕上输出诡异的解法，好比10 * 12 = 120, 120 / 5 = 24，这些是不符合人类计算逻辑的，正常人想到的都是10 / 5 = 2, 2 * 12 = 24。一个可行的方法是把递归搜索的顺序换一下，先减再加，先除后乘，在除法中优先用最大的数除以最小的数。但仍是会出现12 / 5 = 12/5, 12/5 * 10 = 24这样的式子，最根本的算法仍是根据表达式创建树，在树上调整顺序。也许4个数算24点的状况不须要这么复杂，但这是万能的、具备可扩展性的作法（也有多是我想多了）。spa

这是上篇中提出的问题与解决方案，如今我认为须要修改。命令行

首先，对于5, 10, 12的例子，我已经找到简单方法来使程序输出符合人类逻辑的算式了：搜索顺序改成减法、加法、结果为整数的除法、乘法、结果为分数的除法（代码能够在后面的程序中找到，这里就不单独放了）。在更新算法后我试玩了几十组，发现程序给出的结果都是比较正常的，所以这个问题至少在4数24点的问题中算是解决了。

其次，做为看似更好的算法，即便我能克服学数据结构时对树的恐惧，成功地用二叉树表达了算式，“在树上调整顺序”的概念也是模糊的。用什么规则来调整呢？若是是整数优先，那么10 / 5能够保证，可是在新的游戏规则中，若是运算数是2, 3, 33，最优结果是99/2，程序会先计算33 * 3，再计算99 / 2，而个人思路会是33 * 1.5。那么这算什么规则呢？其余的状况呢？理不清。

因此，调整一下搜索顺序，见好就收吧。

4数24点的优化

一位对计算机程序一无所知的数学竞赛同窗对求解24点的算法十分感兴趣。在我绞尽脑汁跟他解释通这个程序后，他认为这个算法很差，由于有大量的重复计算。

有道理。比方说1, 2, 3，原来的算法会先算1 + 2，替换为3，用3, 3递归调用，获得6，这是1 + 2 + 3，而后还有1 + 3 + 2和2 + 3 + 1；1, 2, 3, 4就更多了。

他提出“分治”的策略：24必定是由两个中间结果加减乘除获得的，而每一个中间结果也都是由两个运算数获得的。在为他凭空想出分治而震惊之余，我指出这是错的，这很显然。

但这个想法仍是有必定启发性的。为了优化4数24点的求解算法，我想还不如枚举出全部可能的运算结构算了：

  1. a * b * c * d

  2. a + b + c + d

  3. a * b + c + d

  4. a * b * (c + d)

  5. a * b * c + d

  6. a * (b + c + d)

  7. a * b + c * d

  8. (a + b) * (c + d)

  9. (a * b + c) * d

  10. (a + b) * c + d

其中+表明加或减，*表明乘或除。偶数序号的结构都是前一个奇数序号结构的对偶，指把加减与乘除互换，加括号保证原有的优先级。

inline bool read_bit(int c, int b)
{
    return c & (1 << b);
}

class fast_vector
{
public:
    void push_back(const Rational& r)
    {
        data[size++] = r;
    }
    Rational* begin()
    {
        return data;
    }
    Rational* end()
    {
        return data + size;
    }
private:
    Rational data[1 << max_count];
    int size = 0;
};

using vector_type = fast_vector;

void all_sum(const std::vector<Rational>& data, vector_type& result)
{
    auto end = (1 << data.size()) - 1;
    for (int c = 0; c != end; ++c)
    {
        Rational sum = 0;
        bool valid = true;
        for (int b = 0; b != data.size(); ++b)
            if (!read_bit(c, b))
                sum += data[b];
        for (int b = 0; b != data.size(); ++b)
            if (read_bit(c, b))
            {
                if (sum < data[b])
                {
                    valid = false;
                    break;
                }
                sum -= data[b];
            }
        if (valid)
            result.push_back(sum);
    }
}

void all_pro(const std::vector<Rational>& data, vector_type& result)
{
    auto end = (1 << data.size()) - 1;
    for (int c = 0; c != end; ++c)
    {
        Rational pro = 1;
        bool valid = true;
        for (int b = 0; b != data.size(); ++b)
        {
            if (read_bit(c, b))
            {
                if (data[b] == 0)
                {
                    valid = false;
                    break;
                }
                pro /= data[b];
            }
            else
                pro *= data[b];
        }
        if (valid)
            result.push_back(pro);
    }
}

bool test_sum(const Rational& lhs, const Rational& rhs)
{
    if (lhs + rhs == target)
        return true;
    if (lhs < rhs && rhs - lhs == target)
        return true;
    if (rhs < lhs && lhs - rhs == target)
        return true;
    return false;
}

bool test_pro(const Rational& lhs, const Rational& rhs)
{
    if (lhs * rhs == target)
        return true;
    if (rhs != 0 && rhs / lhs == target)
        return true;
    if (lhs != 0 && lhs / rhs == target)
        return true;
    return false;
}

bool solve(int a, int b, int c, int d)
{
    std::vector<Rational> data(4);
    data[0] = a;
    data[1] = b;
    data[2] = c;
    data[3] = d;

    // a * b * c * d
    {
        vector_type pro;
        all_pro(data, pro);
        for (const auto& r : pro)
            if (r == target)
                return true;
    }

    // a + b + c + d
    {
        vector_type sum;
        all_sum(data, sum);
        for (const auto& r : sum)
            if (r == target)
                return true;
    }

    // a * b + c + d
    for (int i = 0; i != 3; ++i)
        for (int j = i + 1; j != 4; ++j)
        {
            auto pm = data;
            pm.erase(pm.begin() + j);
            pm.erase(pm.begin() + i);
            std::vector<Rational> md{ data[i], data[j] };
            vector_type pro;
            all_pro(md, pro);
            for (const auto& r : pro)
            {
                pm.push_back(r);
                vector_type sum;
                all_sum(pm, sum);
                for (const auto& r : sum)
                    if (r == target)
                        return true;
                pm.pop_back();
            }
        }

    // a * b * (c + d)
    for (int i = 0; i != 3; ++i)
        for (int j = i + 1; j != 4; ++j)
        {
            auto md = data;
            md.erase(md.begin() + j);
            md.erase(md.begin() + i);
            std::vector<Rational> pm{ data[i], data[j] };
            vector_type sum;
            all_sum(pm, sum);
            for (const auto& r : sum)
            {
                md.push_back(r);
                vector_type pro;
                all_pro(md, pro);
                for (const auto& r : pro)
                    if (r == target)
                        return true;
                md.pop_back();
            }
        }

    // a * b * c + d
    for (int i = 0; i != 4; ++i)
    {
        auto md = data;
        md.erase(md.begin() + i);
        vector_type pro;
        all_pro(md, pro);
        for (const auto& r : pro)
            if (test_sum(data[i], r))
                return true;
    }

    // a * (b + c + d)
    for (int i = 0; i != 4; ++i)
    {
        auto pm = data;
        pm.erase(pm.begin() + i);
        vector_type sum;
        all_sum(pm, sum);
        for (const auto& r : sum)
            if (test_pro(data[i], r))
                return true;
    }

    // a * b + c * d
    for (int i = 0; i != 3; ++i)
        for (int j = i + 1; j != 4; ++j)
        {
            auto md2 = data;
            md2.erase(md2.begin() + j);
            md2.erase(md2.begin() + i);
            decltype(md2) md1{ data[i], data[j] };
            vector_type pro1, pro2;
            all_pro(md1, pro1);
            all_pro(md2, pro2);
            for (const auto& r1 : pro1)
                for (const auto& r2 : pro2)
                    if (test_sum(r1, r2))
                        return true;
        }

    // (a + b) * (c + d)
    for (int i = 0; i != 3; ++i)
        for (int j = i + 1; j != 4; ++j)
        {
            auto pm2 = data;
            pm2.erase(pm2.begin() + j);
            pm2.erase(pm2.begin() + i);
            decltype(pm2) pm1{ data[i], data[j] };
            vector_type sum1, sum2;
            all_sum(pm1, sum1);
            all_sum(pm2, sum2);
            for (const auto& r1 : sum1)
                for (const auto& r2 : sum2)
                    if (test_pro(r1, r2))
                        return true;
        }

    // (a * b + c) * d
    for (int i = 0; i != 3; ++i)
        for (int j = i + 1; j != 4; ++j)
        {
            auto rest = data;
            rest.erase(rest.begin() + j);
            rest.erase(rest.begin() + i);
            std::vector<Rational> md{ data[i], data[j] };
            vector_type pro;
            all_pro(md, pro);
            for (const auto& r : pro)
            {
                for (int k = 0; k != 2; ++k)
                {
                    std::vector<Rational> pm{ r, rest[k] };
                    vector_type sum;
                    all_sum(pm, sum);
                    for (const auto& r : sum)
                        if (test_pro(r, rest[1 - k]))
                            return true;
                }
            }
        }

    // (a + b) * c + d
    for (int i = 0; i != 3; ++i)
        for (int j = i + 1; j != 4; ++j)
        {
            auto rest = data;
            rest.erase(rest.begin() + j);
            rest.erase(rest.begin() + i);
            std::vector<Rational> pm{ data[i], data[j] };
            vector_type sum;
            all_sum(pm, sum);
            for (const auto& r : sum)
            {
                for (int k = 0; k != 2; ++k)
                {
                    std::vector<Rational> md{ r, rest[k] };
                    vector_type pro;
                    all_pro(md, pro);
                    for (const auto& r : pro)
                        if (test_sum(r, rest[1 - k]))
                            return true;
                }
            }
        }

    return false;
}

int main()
{
    auto start_time = std::clock();
    int count = 0;
    for (int a = 1; a <= max_num; ++a)
        for (int b = a; b <= max_num; ++b)
            for (int c = b; c <= max_num; ++c)
                for (int d = c; d <= max_num; ++d)
                    if (solve(a, b, c, d))
                        ++count;
    std::cout << count << std::endl;
    std::cout << (static_cast<double>(std::clock()) - start_time) * 1000
        / CLOCKS_PER_SEC << "ms" << std::endl;
    return 0;
}

Integer为int，Rational和Expression的定义见上篇。

原算法没有使用std::vector数据结构，因为STL的糟糕性能，我写了个不涉及动态内存分配的fast_vector来替换存储运算结果的std::vector；运算数的懒得改了。

算法的核心在于all_sum函数，用于求出data数组中的元素经过加减法能够获得的全部结果：

void all_sum(const std::vector<Rational>& data, vector_type& result)
{
    auto end = (1 << data.size()) - 1;
    for (int c = 0; c != end; ++c)
    {
        Rational sum = 0;
        bool valid = true;
        for (int b = 0; b != data.size(); ++b)
            if (!read_bit(c, b))
                sum += data[b];
        for (int b = 0; b != data.size(); ++b)
            if (read_bit(c, b))
            {
                if (sum < data[b])
                {
                    valid = false;
                    break;
                }
                sum -= data[b];
            }
        if (valid)
            result.push_back(sum);
    }
}

函数用一个整数c表示data数组中各元素取加号仍是减号，当二进制c的第b位为0时（最低位为第0位），下标为b的元素取加号，不然取减号；c取不到0b11...1（data.size()个1），是由于不能全部元素都取减号。对于每一个c，若是算出来的值是有效的，就把它追加到结果的数组中去。我把返回值写成了引用参数，虽然编译器极可能RVO（返回值优化），我仍是手动写出来以明确我提高性能的意图。

all_pro函数相似，只不过计算的是积与商。

程序在VS2019中编译，配置为Release、x86，在没插电的最节能配置下的i7-7700HQ上测试，从命令行调用，优化算法的平均运行时间为55ms，而原算法为82ms，是有明显提高的。

几率问题

在一篇研究24点游戏的文章中，有这样一句话：

其实还有一个缘由，就是有解的几率过小了。4个数字的话也就大约80%的题能算，若是算上人头牌，可解的题就只有75%了。

没错，在1820种可能的4数组合中，有1362种有解，比例为74.8%。

可是注意，我说的是“比例”而不是“几率”，这二者是有区别的。要计算“有解的几率”，必须先肯定出题的方式。

若是是从1820道题目的题库中等几率地选择一道，相似与上篇中提到的单片机程序同样，这样每一道题被选中都是古典概型中的基本事件，有解几率就是74.8%。

若是是从52张扑克牌中等几率地选择4张，那么几率就不是74.8%，由于每一种题目出现的几率是不相等的。好比，6, 6, 6, 6出现的几率为\(1 / C_{52}^{4}\)，而1, 2, 3, 4出现的几率为\(4! / C_{52}^{4}\)，二者相差24倍。每一种4数的有序排列都是古典概型中的基本事件，有解几率须要从新计算。

std::set<std::vector<Integer>> solution;
int solved = 0;
int total = 0;
int card[4];
std::vector<Integer> comb(4);
for (card[0] = 0; card[0] != 49; ++card[0])
    for (card[1] = card[0] + 1; card[1] != 50; ++card[1])
        for (card[2] = card[1] + 1; card[2] != 51; ++card[2])
            for (card[3] = card[2] + 1; card[3] != 52; ++card[3])
            {
                ++total;
                for (int i = 0; i != 4; ++i)
                    comb[i] = card[i] / 4 + 1;
                if (solution.find(comb) != solution.end())
                    ++solved;
            }
std::cout << solved << " / " << total << std::endl;

其中，solution已经保存了有解的4数组合。程序的输出为：

217817 / 270725

这个比例为80.5%，也是这种模型下有解的几率。

新款50点游戏

未完待续，明天更。

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