平衡搜索树

文章中部分内容和思路来自《数据结构、算法与应用 c++语言描述》

准备知识

如果搜索树的高度总是O(logn),我们就能保证查找、插入和删除的时间为O(logn)，最坏情况下高度为O(logn)的树称为平衡树

AVL树

1.定义

一颗空的树是AVL树；如果T是一颗非空的二叉树，TL和TR分别是其左右子树，那么当T满足以下条件，则T是一颗AVL树：1)TL和TR是AVL树 2)|HL-HR|<=1，其中HL和HR分别是TL和TR的高。如图14-1，a)b)是AVL树 c)不是

2.AVL搜索树

既是AVL树，也是二叉搜索树，如图14-1b)

3.特征

1)一颗n个元素的AVL树，其高度是O(logn)

2)对于每一个n，n>=0，都存在一颗AVL树

3)对一颗n元素的AVL树，再O(高度)=O(logn)的时间内可以实现查找

4)将一个新元素插入一颗n元素的AVL树中，可以得到一颗n+1个元素的AVL树，而且插入用时为O(logn)

5)从n元素的AVL树中删除一个元素，可以得到一颗n-1个元素的AVL树，而且删除用时为O(logn) 

4.高度

对一颗高度为h的AVL树，令N_h是其最少的节点数。在最坏的情况下，根的一颗子树的高度为h-1，另一颗子树高度为h-2，而且两颗子树都是AVL树。因此有：

                   N_h= N_h-1 + N_h-2 + 1, N₀ = 0且N₁= 1

注意，Nh的定义与斐波契数列的定义是相似的：

                   Fn= Fn-1 + Fn-2, F0 = 0 且 F1 = 1

也可以这样来表示：N_h=F_h+2–1,h>=0(可用数学归纳法证明)。由斐波拉契定理可知F_h≈Φ^h-,其中Φ=(1+)/2。因此Nh≈Φ^h+2/-1。如果书中由n个节点，那么树的最大高度为：log_Φ((n+1))-2≈1.44log₂(n+2)=O(logn)

5.平衡因子

x的左子树高度-x的右子树高度，取值可能为1,0，-1

6.插入、删除

详见：https://www.2cto.com/kf/201608/537982.html

红黑树

1.定义

树中每一个节点的颜色或者是黑色，或者是红色

2.性质

1)根节点和所有外部节点都是黑色

2)在根至外部节点路径上，没有连续两个节点是红色

3)在所有根至外部节点路径上，黑色节点数目相同

3.节点的阶

该节点到外部节点黑色指针数量

4.定理

1)设从根到外部节点的路径长度(length)是该路径上的指针数量，如果P和Q是红黑树中两条从根到外部节点的路径，那么length(P)<=length(Q)

2)令h是一颗红黑树的高度(不包括外部节点)，n是树的内部节点数量，而r是根节点的阶，则h<=2r;n>=2^r-1;h<=2log₂(n+1)

5.插入、删除

详见：https://www.cnblogs.com/liyuan989/p/4071942.html

B+、B-树

1.m叉搜索树

可以是一颗空树，如果非空，则需要满足以下条件:

1)在相应的扩充搜索树中(即用外部节点替换空指针之后获得的搜索树)，每个内部节点最多可以有m个孩子以及1~m-1个元素(外部节点不含元素和孩子)

2)每一个含有p个元素的节点都有p+1个孩子

3)对任意一个含有p个元素的节点，设k₁ … k_p分别是这些元素的关键字。这些元素顺序排列，即k₁<k₂<…<k_p。设c₀ … c_p是该节点的p+1个孩子。在以c₀为根的子树中，元素的关键字小于k₁;在以c_p为根的子树中，元素的关键字大于k_p;在以c_i为根的子树中，元素的关键字大于k_i而小于k_i+1，其中1<=i<=p

2.B-树

是一颗m叉搜索树。如果B-树非空，那么相应的扩展树应满足以下条件：

1)根节点至少有两个孩子

2)除根节点外，所有内部节点至少有[m/2]个孩子

3)所有外部节点在同一层

3.B+树

是B-树的变体，其基本定义与B-树相同，除了：

1)非叶子节点的子树指针与关键字个数相同

2)非叶子节点的子树指针p[i]，指向关键字值属于[k[i],k[i+1])的子树(B-树是开区间)

3)为所有叶子节点增加一个链指针

4)所有关键字都在叶子节点出现