神奇的伽玛函数(1)—— 伽玛函数的由来

　　伽玛函数（Gamma函数），也叫欧拉第二积分，是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。伽玛函数在分析学、几率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。

　　咱们一般看到的伽玛函数是这样的：

　　这究竟是个什么东西？有什么用？欧拉又是怎么发现它的？

　　欧拉大神

伽玛函数的原由

　　发现伽玛函数的原由是数列插值。数列插值问题，通俗地说就是把数列的通项公式从整数定义域扩展到实数。例如数列1,4,9,16,.....能够用通项公式n²表达，即使n为实数的时候，这个通项公式也是良好定义的。直观的说，就是能够找到一条平滑的曲线y = x²，该曲线可以经过全部的整数点(x, x²)，从而能够把定义在整数域的公式扩展到实数域。

　　1728年，哥德巴赫开始处理阶乘序列的插值问题：1,2,6,24,120,720,...，既然能够计算2!, 3!,…，是否能够计算2.5!呢？把最初的一些(n, n!)的点画在坐标轴上，确实能够看到，可以画出一条经过这些点的平滑曲线。问题是，这条曲线是什么？

　　哥德巴赫没法解决阶乘往实数域上扩展的这个问题，因而写信请教尼古拉斯·贝努利和丹尼尔·贝努利两兄弟，因为欧拉当时正好和丹尼尔·贝努利在一块玩，他也所以得知了这个问题。以后欧拉于1729年完美地解决了这个问题，由此致使了伽玛函数的诞生。当时欧拉只有 22 岁，这让我感受本身就是混吃等死的。

发现伽玛函数

　　在某一个特殊的时刻，欧拉发现阶乘n!能够用一个无穷乘积表示：

　　若是有m项乘积：

　　当m远远大于n时，上式可继续计算：

　　

　　当m→∞时，无穷乘积的极限：

　　很难想像在没有计算机的年代可以发现这个变态的无穷乘积，估计欧拉当年是根据极限倒推无穷乘积，而后对外宣称在机缘巧合下发现了无穷乘积。

　　值得注意的是，n!明显不等于③，③又是由②整理而来的，所以n!也不等于②，而是在m→∞时n!等于②或③的极限。以n = 2为例，n! = 2，m是二、50、100时，②的结果分别是1.五、1.961538461538461七、1.980392156862745，展开的越多，越接近于n!。

　　

　　有了这个无穷乘积，欧拉便开用1/2代入①进行尝试：

　　根号里面的东西是英国数学家沃利斯（John Wallis）在1665年写下的沃利斯公式：

　　因而欧拉把沃利斯公式折半：

　　π真是一个神奇的数字！

　　1665年牛顿还很小，尚未发明积分，沃利斯用各类巧妙的技巧获得了这个结论，推导过程其实是在处理。受沃利斯的启发，欧拉开始考虑以下的通常形式的积分：

　　此处n为正整数，a为正实数。利用分部积分：

　　继续使用分部积分：

　　上面全部递推合并到一块儿就获得了最终的结果：

　　如今阶乘变成了积分的形式。然而这个式子的前提是n是正整数，没法推广到分数，欧拉继续研究如何化简这个表达式。a是一个任意实数，可否让a消失？一个惯用的方法是取极端值，a > 0的一个极端是无穷，看看让a趋近于无穷时会获得什么结果。这里欧拉使用的技巧是让a等于两个实数的商：

　　等式两侧同时除以(f+g)(f+2g)…(f+ng)：

　　当f→1，g→0时，左侧趋近于n!，可是右侧出现了讨厌的0分母，此时为了简化计算：

　　将上式结论代入④：

　　用求极限的方式去掉f和g：

　　当f→1，g→0时h→0，(1-t^h)/h的极限变成了0/0的形式，在洛必达法则的帮助下，0/0形和∞/∞形的极限也是能够求解的。令u(h) = 1-t^h，v(h) = h，根据洛必达法则：

　　因而在对⑤的等式两侧求极限时，神奇的一幕出现了：

　　任意实数a已经消失了，n!变成了一个简洁的积分形式。继续变换：

　　这就是欧拉最先定义的伽玛函数，实际上就是阶乘扩展到实数范围：

　　可是欧拉后来修改了伽玛函数的定义，变成了：

　　这也是如今咱们所说的伽玛函数，⑥和⑦是两种表达，⑦更为常见，从积分域能够看出t和u的取值范围。

 

　　本文参考：https://cosx.org/2013/01/lda-math-gamma-function

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　　出处：微信公众号 "我是8位的"

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