动态规划的详细分析

动态规划相信你们都知道，动态规划算法也是新手在刚接触算法设计时很苦恼的问题，有时候以为难以理解，可是真正理解以后，就会以为动态规划其实并无想象中那么难。网上也有不少关于讲解动态规划的文章，大多都是叙述概念，讲解原理，让人以为晦涩难懂，即便一时间看懂了，发现当本身作题的时候又会以为无所适从。我以为，理解算法最重要的仍是在于练习，只有经过本身练习，才能够更快地提高。话很少说，接下来，下面我就经过一个例子来一步一步讲解动态规划是怎样使用的，只有知道怎样使用，才能更好地理解，而不是一味地对概念和原理进行反复琢磨。

    首先，咱们看一下这道题（此题目来源于北大POJ）：

    数字三角形(POJ1163)

   

    在上面的数字三角形中寻找一条从顶部到底边的路径，使得路径上所通过的数字之和最大。路径上的每一步都只能往左下或 右下走。只须要求出这个最大和便可，没必要给出具体路径。 三角形的行数大于1小于等于100，数字为 0 - 99

    输入格式：

    5      //表示三角形的行数    接下来输入三角形

    7

    3   8

    8   1   0

    2   7   4   4

    4   5   2   6   5

    要求输出最大和

    接下来，咱们来分析一下解题思路：

    首先，确定得用二维数组来存放数字三角形

    而后咱们用D( r, j) 来表示第r行第 j 个数字(r,j从1开始算)

    咱们用MaxSum(r, j)表示从D(r,j)到底边的各条路径中，最佳路径的数字之和。

    所以，此题的最终问题就变成了求 MaxSum(1,1)

    当咱们看到这个题目的时候，首先想到的就是能够用简单的递归来解题：

    D(r, j)出发，下一步只能走D(r+1,j)或者D(r+1, j+1)。故对于N行的三角形，咱们能够写出以下的递归式：   

if ( r == N)
MaxSum(r,j) = D(r,j)
else
MaxSum( r, j) = Max{ MaxSum(r＋1,j), MaxSum(r+1,j+1) } + D(r,j)
    根据上面这个简单的递归式，咱们就能够很轻松地写出完整的递归代码： 

#include <iostream>
#include <algorithm>
#define MAX 101
using namespace std;
int D[MAX][MAX];
int n;
int MaxSum(int i, int j){
if(i==n)
return D[i][j];
int x = MaxSum(i+1,j);
int y = MaxSum(i+1,j+1);
return max(x,y)+D[i][j];
}
int main(){
int i,j;
cin >> n;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=i;j++)
cin >> D[i][j];
cout << MaxSum(1,1) << endl;
}
    对于如上这段递归的代码，当我提交到POJ时，会显示以下结果：

   

    对的，代码运行超时了，为何会超时呢？

    答案很简单，由于咱们重复计算了，当咱们在进行递归时，计算机帮咱们计算的过程以下图：

    

    就拿第三行数字1来讲，当咱们计算从第2行的数字3开始的MaxSum时会计算出从1开始的MaxSum，当咱们计算从第二行的数字8开始的MaxSum的时候又会计算一次从1开始的MaxSum，也就是说有重复计算。这样就浪费了大量的时间。也就是说若是采用递规的方法，深度遍历每条路径，存在大量重复计算。则时间复杂度为 2的n次方,对于 n = 100 行，确定超时。 

    接下来，咱们就要考虑如何进行改进，咱们天然而然就能够想到若是每算出一个MaxSum(r,j)就保存起来，下次用到其值的时候直接取用，则可免去重复计算。那么能够用n方的时间复杂度完成计算。由于三角形的数字总数是 n(n+1)/2

    根据这个思路，咱们就能够将上面的代码进行改进，使之成为记忆递归型的动态规划程序： 

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define MAX 101

int D[MAX][MAX];
int n;
int maxSum[MAX][MAX];

int MaxSum(int i, int j){
if( maxSum[i][j] != -1 )
return maxSum[i][j];
if(i==n)
maxSum[i][j] = D[i][j];
else{
int x = MaxSum(i+1,j);
int y = MaxSum(i+1,j+1);
maxSum[i][j] = max(x,y)+ D[i][j];
}
return maxSum[i][j];
}
int main(){
int i,j;
cin >> n;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=i;j++) {
cin >> D[i][j];
maxSum[i][j] = -1;
}
cout << MaxSum(1,1) << endl;
}
    当咱们提交如上代码时，结果就是一次AC

   

    虽然在短期内就AC了。可是，咱们并不能知足于这样的代码，由于递归老是须要使用大量堆栈上的空间，很容易形成栈溢出，咱们如今就要考虑如何把递归转换为递推，让咱们一步一步来完成这个过程。

    咱们首先须要计算的是最后一行，所以能够把最后一行直接写出，以下图：

   

    如今开始分析倒数第二行的每个数，现分析数字2，2能够和最后一行4相加，也能够和最后一行的5相加，可是很显然和5相加要更大一点，结果为7，咱们此时就能够将7保存起来，而后分析数字7，7能够和最后一行的5相加，也能够和最后一行的2相加，很显然和5相加更大，结果为12，所以咱们将12保存起来。以此类推。。咱们能够获得下面这张图：

   

    而后按一样的道理分析倒数第三行和倒数第四行，最后分析第一行，咱们能够依次获得以下结果：

   

   

    上面的推导过程相信你们不难理解，理解以后咱们就能够写出以下的递推型动态规划程序： 

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define MAX 101

int D[MAX][MAX];
int n;
int maxSum[MAX][MAX];
int main(){
int i,j;
cin >> n;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=i;j++)
cin >> D[i][j];
for( int i = 1;i <= n; ++ i )
maxSum[n][i] = D[n][i];
for( int i = n-1; i>= 1; --i )
for( int j = 1; j <= i; ++j )
maxSum[i][j] = max(maxSum[i+1][j],maxSum[i+1][j+1]) + D[i][j];
cout << maxSum[1][1] << endl;
}
     咱们的代码仅仅是这样就够了吗？固然不是，咱们仍然能够继续优化，而这个优化固然是对于空间进行优化，其实彻底不必用二维maxSum数组存储每个MaxSum(r,j),只要从底层一行行向上递推，那么只要一维数组maxSum[100]便可,即只要存储一行的MaxSum值就能够。

     对于空间优化后的具体递推过程以下：

   

   

   

   

   

   

    接下里的步骤就按上图的过程一步一步推导就能够了。进一步考虑，咱们甚至能够连maxSum数组均可以不要，直接用D的第n行直接替代maxSum便可。可是这里须要强调的是：虽然节省空间，可是时间复杂度仍是不变的。

    依照上面的方式，咱们能够写出以下代码：    

 

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define MAX 101

int D[MAX][MAX];
int n;
int * maxSum;

int main(){
int i,j;
cin >> n;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=i;j++)
cin >> D[i][j];
maxSum = D[n]; //maxSum指向第n行
for( int i = n-1; i>= 1; --i )
for( int j = 1; j <= i; ++j )
maxSum[j] = max(maxSum[j],maxSum[j+1]) + D[i][j];
cout << maxSum[1] << endl;
}
 

 

 

 

 

    接下来，咱们就进行一下总结：

    递归到动规的通常转化方法

    递归函数有n个参数，就定义一个n维的数组，数组的下标是递归函数参数的取值范围，数组元素的值是递归函数的返回值，这样就能够从边界值开始， 逐步填充数组，至关于计算递归函数值的逆过程。

    动规解题的通常思路

    1. 将原问题分解为子问题

    把原问题分解为若干个子问题，子问题和原问题形式相同或相似，只不过规模变小了。子问题都解决，原问题即解决(数字三角形例）。
    子问题的解一旦求出就会被保存，因此每一个子问题只需求 解一次。
    2.肯定状态

    在用动态规划解题时，咱们每每将和子问题相关的各个变量的一组取值，称之为一个“状 态”。一个“状态”对应于一个或多个子问题， 所谓某个“状态”下的“值”，就是这个“状 态”所对应的子问题的解。
    全部“状态”的集合，构成问题的“状态空间”。“状态空间”的大小，与用动态规划解决问题的时间复杂度直接相关。 在数字三角形的例子里，一共有N×(N+1)/2个数字，因此这个问题的状态空间里一共就有N×(N+1)/2个状态。
    整个问题的时间复杂度是状态数目乘以计算每一个状态所需时间。在数字三角形里每一个“状态”只须要通过一次，且在每一个状态上做计算所花的时间都是和N无关的常数。

    3.肯定一些初始状态（边界状态）的值

    以“数字三角形”为例，初始状态就是底边数字，值就是底边数字值。

    4. 肯定状态转移方程

     定义出什么是“状态”，以及在该“状态”下的“值”后，就要找出不一样的状态之间如何迁移――即如何从一个或多个“值”已知的 “状态”，求出另外一个“状态”的“值”(递推型)。状态的迁移能够用递推公式表示，此递推公式也可被称做“状态转移方程”。

    数字三角形的状态转移方程:

   
 

    能用动规解决的问题的特色

    1) 问题具备最优子结构性质。若是问题的最优解所包含的 子问题的解也是最优的，咱们就称该问题具备最优子结 构性质。

    2) 无后效性。当前的若干个状态值一旦肯定，则此后过程的演变就只和这若干个状态的值有关，和以前是采起哪一种手段或通过哪条路径演变到当前的这若干个状态，没有关系。————————————————版权声明：本文为CSDN博主「ChrisYoung1314」的原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处连接及本声明。原文连接：https://blog.csdn.net/baidu_28312631/article/details/47418773