陶哲轩实分析 命题 7.3.4 (Cauchy 准则) 证明

设$(a_n)_{n=1}^{\infty}$是一个非负实数的不增序列，那么级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛当且仅当级数 $$\sum_{k=0}^{\infty}2^ka_{2^k}=a_1+2a_2+4a_4+8a_8+\cdots$$收敛.   证明：$\Leftarrow$:当$\sum_{k=0}^{\infty}2^ka_{2^k}$收敛时.根据数学归纳法易得$

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