数学实验知识点整理（数值积分，常微分方程求解）

《数学实验》知识点整理

1、须要掌握的内容

Matlab 语言编程基础（矩阵的建立及使用方法、矩阵运算基础、线性方程求解、选择、循环{求和、迭代}、函数的定义及使用方法） （40分）

曲线的绘制（掌握一元函数图形的绘制方法，以及参数曲线的绘制方法；  掌握plot， ezplot，plot3，ezplot3等函数的用法；掌握基本的图形标注命令）  （15分左右）

曲面的绘制（掌握二元函数图形的绘制方法，以及参数曲面的绘制方法；掌握 mesh，ezmesh等函数的用法）（15分左右）

非线性方程（组）求解 （掌握用fzero求非线性方程的根，以及用 fsolve求解非线性方程组的方法）（10分）

数值积分和符号积分（掌握trapz，quadl，dblquad, integral2, integral3等函数的用法） （10分左右）

常微分方程（组）求解  （掌握利用ode45求解常微分方程和常微分方程组的方法）  （10分）

2、知识整理

1. 数值积分数值微分

1)        经常使用的数值积分方法

• 矩形公式
• 梯形公式
• Simpson公式
• Newton-Cotes积分法
• 高斯求积公式
• 龙贝格（Romberg）积分法
• 蒙特卡洛方法（随机模拟的方法）

2)       Matlab中数值微分和积分的函数：diff

3)       数值导数

方向导数gradient

例：» clear;x=[1 1.1 1.2 1.3];y=x.^3;

» dy=diff(y)./diff(x)

» dy=gradient(y,x)

» 3*x.^2

利用梯形法求积分

• z=trapz(x,y)  其中x 表示积分区间的离散化向量; y是   与x同维数的向量，表示被积函数；该函数返回积分的近似值。
• 例：求积分
• 解 » clear; x=-1:0.1:1; y=exp(-x.^2);
• » trapz(x,y)

 

1. 2.        数值积分和符号积分

• z=trapz(x,y)  其中x 表示积分区间的离散化向量; y是与x同维数的向量，表示被积函数；该函数返回积分的近似值 。
• 例： 求积分
• 解 » clear; x=-1:0.1:1; y=exp(-x.^2);
• » trapz(x,y)
• >> z=quadl(@(x)exp(-x.^2),-1,1)（int函数）
• >> z= integral (@(x)exp(-x.^2),-1,1) （能够计算反常积分）
• 另外一个例子:
• >> fun = @(x) exp(-x.^2).*log(x).^2;
• >> q = quadl(fun,0,Inf)    % quadl不能求反常积分
• >> q = integral(fun,0,Inf) % integral能求反常积分

1. 3.        重积分

• z=dblquad(Fun,a,b,c,d)  求二元函数 Fun(x,y) 在矩形区域的重积分。
• z=triplequad(Fun,a,b,c,d,e,f)  求三元函数Fun(x,y,z) 在长方体区域上的三重积分。
• z=quad2d(Fun,a,b,cx,dx)  求二元函数Fun(x,y)在通常区域上的重积分。a, b为变量x的下、上限；cx, dx为变量y的下、上限函数(自变量为x)。
• z= integral2 (Fun,a,b,cx,dx) 相似quad2d
• z= integral3 (Fun,a,b,cx,dx,exy,fxy) 求三元函数Fun(x,y,z)在通常区域上的三重积分 。

例题：

 

1. 4.        微分方程

n  微分方程：含有未知函数及其某些阶导数以及自变量自己的方程称为微分方程

n  常微分方程：未知函数是一元函数

n  偏微分方程：含有偏导数的微分方程，其解为多元函数u(t,x,y,z)。

n  微分方程组：联系一些未知函数x(t), y(t), z(t),  … 的一组微分方程。

n  微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数

n  （2）常系数线性微分方程的特征根法

n  线性方程:  y⁽ⁿ⁾  + a₁ (t) y^(n-1)  + …

n      + a_n-1 (t) y’ + a_n (t) y = b(t)

n  常系数方程: 若a_i (t) (i =1, …,n) 与t无关。

n  齐次方程: 若b(t)=0。

n        y⁽ⁿ⁾  + a₁ y^(n-1)  + … + a_n-1 y’ + a_n y = 0

n  线性常系数齐次微分方程的解可用特征根法求得.

n         lⁿ+a₁ l^n-1+ … +a_n-1 l+a_n=0

n  非齐次方程的解为一个特解和相应的齐次方程通解的叠加。

n  变系数方程可尝试常数变易法。

n  例6.1  求x’’+ 0.2 x’+3.92x = 0的通解

n  解  特征方程为l² + 0.2l +3.92=0

n    » roots([1 0.2 3.92]

n   求得共轭复根 a ±bi=-0.1±1.9774i,

ode45函数

 

 

例6.2  解微分方程                                                     y’ -y+2t/y=0, y(0)=1（初值向量1）, 0<t<4 （自变量的初值0，4）

将方程整理为标准形式y’ = y-2t/y。

 

程序：

odefun= @(t,y)y-2*t/y ;

>> [t,y]=ode45(odefun,[0,4],1); [t,y]

>> plot(t,y,'o')

>> ode45(odefun,0:1:4,1);%（输出结点列向量）

>> [t,y]=ode45(odefun,0:1:4,1);[t,y]

例二

 

 

【0 30】自定义x的范围，【1；0.5】初值解的值

 

 

例三（高阶）

 

Y0是初值解

 

1. 5.        边值问题解法 

 

 

例6.5求解边值问题

解首先改写为标准形式。

     令y(1)= z, y(2)= z’, 则方程为

y’(1)=y(2), y’(2) = -y(2)sin(y(1))

边界条件为

ya(1)=0, yb(1)+2=0

程序：eg6_5.m

 %根据z初始值预估：z=-1，z’=0

clear;close;

sinit=bvpinit(0:4,[-1;0])

%[-1;0]是常数猜想值z=-1, z’=0

• odefun=@(t,y)[y(2);-y(2)*sin(y(1))];

bcfun=@(ya,yb)[ya(1);yb(1)+2];

sol=bvp5c(odefun,bcfun,sinit) %注意sol的域名

t=linspace(0,4,101);

y=deval(sol,t);

plot(t,y(1,:),sol.x,sol.y(1,:),'o',sinit.x,sinit.y(1,:),'s')

legend('解曲线','解点','粗略解')