考研数学之高等数学知识点整理——8.不定积分

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文章目录

• 8、不定积分
• 1 不定积分的基本性质
• 2 基本积分公式
• 3 不定积分法
• 3.1 第一类换元积分法
• 3.2 第二类换元积分法
• 3.3 分部积分法

8、不定积分

1 不定积分的基本性质

$[\int f(x)\mathrm{d}x]'=f(x)$， $\mathrm{d}\int f(x)\mathrm{d}x=f(x)\mathrm{d}x$

$\int f'(x)\mathrm{d}x=\int \mathrm{d}f(x)=f(x)+C$

$\int kf(x)\mathrm{d}x=k\int f(x)\mathrm{d}x，(k≠0为常数)$

$\int [f(x)±g(x)]\mathrm{d}x=\int f(x)\mathrm{d}x±\int g(x)\mathrm{d}x$

2 基本积分公式

$\int x^n\mathrm{d}x=\frac{1}{1+a}x^{1+a}+C$

$\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln{|x|}+C$

$\int a^x\mathrm{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+C$， $\int e^x\mathrm{d}x=e^x+C$

$\int \cos{x}\mathrm{d}x=\sin{x}+C$

$\int \sin{x}\mathrm{d}x=-\cos{x}+C$

$\int \sec^2{x}\mathrm{d}x=\int \frac{1}{\cos^2{x}}\mathrm{d}x=\tan{x}+C$

$\int \csc^2{x}\mathrm{d}x=\int \frac{1}{\sin^2{x}}\mathrm{d}x=-\cot{x}+C$

$\int \sec x\tan x\mathrm{d}x=\sec x+C$

$\int \csc x\cot x\mathrm{d}x=-\csc x+C$

$\int \sec x\mathrm{d}x=\ln{|\sec x+\tan x|}+C$

$\int \csc x\mathrm{d}x=\ln{|\csc x-\cot x|}+C$

$\int \frac{1}{a^2+x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C$

$\int \frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x=\arctan x+C$

$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm{d}x=\arcsin\frac{x}{a}+C$

$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x=\arcsin x+C$

$\int \frac{1}{a^2-x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2a}\ln{|\frac{a+x}{a-x}|}+C$

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2±a^2}}=\ln{|x+\sqrt{x^2±a^2}|}+C$

3 不定积分法

3.1 第一类换元积分法

设f(u)有原函数F(u)，u=φ(x)可导，则有
$\int f[φ(x)]φ'(x)\mathrm{d}x=\int f[φ(x)]\mathrm{d}φ(x)=\int f(u)\mathrm{d}u=F(u)+C=F(φ(x))+C$

3.2 第二类换元积分法

设函数x=φ(x)具备连续导数，且φ’(x)≠0，又设f[φ(t)]φ’(t)具备原函数Φ(t)，则
$\int f(x)\mathrm{d}x=\int f[φ(t)]φ'(t)\mathrm{d}t=Φ(t)+C=Φ[φ^{-1}(x)]+C$

3.3 分部积分法

设函数u=u(x)，v=v(x)具备连续导数，则
$\int u\mathrm{d}v=uv-\int v\mathrm{d}u$