堆排序学习笔记及堆排序算法的python实现

堆排序(Heapsort)是指利用堆积树（堆）这种数据结构所设计的一种排序算法，它是选择排序的一种。能够利用数组的特色快速定位指定索引的元素。堆分为大根堆和小根堆，是彻底二叉树。大根堆的要求是每一个节点的值都不大于其父节点的值，即A[PARENT[i]] >= A[i]。在数组的非降序排序中，须要使用的就是大根堆，由于根据大根堆的要求可知，最大的值必定在堆顶。

堆排序是一种选择排序，其时间复杂度为O(nlogn).

堆的定义

    n个元素的序列{k₁，k₂，…,k_n}当且仅当知足下列关系之一时，称之为堆。

　　    情形1：k_i <= k_2i 且k_i <= k_2i+1 （最小化堆或小顶堆）

　　    情形2：k_i >= k_2i 且k_i >= k_2i+1 （最大化堆或大顶堆）

　　    其中i=1,2,…,n/2向下取整;

       堆能够当作是一个彻底二叉树。彻底二叉树中全部非终端结点的值均不大于（或不小于）其左右孩子结点的值。堆顶元素（彻底二叉树的根）必为序列中的最大或最小值。

        若在输出堆顶的最小值以后，使得剩余n-1个元素的序列重又建成一个堆，则获得n个元素的次小值。如此反复执行，便能获得一个有序序列，这个过程称之为堆排序。

　　堆排序（Heap Sort）只须要一个记录元素大小的辅助空间（供交换用），每一个待排序的记录仅占有一个存储空间。

堆的存储：

    通常用数组表示堆，若根结点存在序号0处， i结点的父结点下标就为(i-1)/2。i结点的左右子结点下标分别为2*i+1和2*i+2。（注：若是根结点是从1开始，则左右孩子结点分别是2i和2i+1。）

堆排序的实现

    实现堆排序须要解决两个问题：

            一、如何由一个无序序列建成一个堆？

            二、如何在输出堆顶元素以后，调整剩余元素成为一个新的堆。

    对于第二个问题，通常在输出堆顶元素以后，视为将这个元素排除，而后用表中的最后一个元素填补它的位置，自下向上调整：首先，将堆顶元素和它的左右子树的根节点进行比较，把最小的元素交换到堆顶；而后，顺着被破坏的路径一路调整下去，直至叶子节点，就获得新的堆。咱们称这个自堆顶至叶子的调整过程为“筛选”。

构造初始堆

   给定一个数组，首先，根据该数组元素构造一个彻底二叉树；而后，从最后一个非叶子结点开始，每次都是从父结点、左孩子、右孩子中进行比较交换，交换可能会引发孩子结点不知足堆的性质，因此每次交换以后须要从新对被交换的孩子结点进行调整。

 

进行堆排序

  其基本思想为(大顶堆)：

        1)将初始待排序关键字序列(R1,R2....Rn)构建成大顶堆，此堆为初始的无序区；

         2)将堆顶元素R[1]与最后一个元素R[n]交换，此时获得新的无序区(R1,R2,......Rn-1)和新的有序区(Rn),且知足R[1,2...n-1]<=R[n]; 

         3)因为交换后新的堆顶R[1]可能违反堆的性质，所以须要对当前无序区(R1,R2,......Rn-1)调整为新堆，而后再次将R[1]与无序区最后一个元素交换，获得新的无序区(R1,R2....Rn-2)和新的有序区(Rn-1,Rn)。不断重复此过程直到有序区的元素个数为n-1，则整个排序过程完成。

实例：

    此处是参照一篇博客总结的，大体内容都是这个博客中的（堆排序 Heap Sort）。

    1.初始的堆结构

             

    2.交换堆顶的元素和最后一个元素，此时最后一个位置做为有序区（有序区显示为***），而后进行其余无序区的堆调整，从新获得大顶堆后，交换堆顶和倒数第二个元素的位置……

                

             想获得升序，则创建大顶堆，若想获得降序，则创建小顶堆。

堆排序分析

　　堆排序方法对记录数较少的文件并不值得提倡，但对n较大的文件仍是颇有效的。由于其运行时间主要耗费在建初始堆和调整建新堆时进行的反复“筛选”上。

　　堆排序在最坏的状况下，其时间复杂度也为O(nlogn)。相对于快速排序来讲，这是堆排序的最大优势。此外，堆排序仅需一个记录大小的供交换用的辅助存储空间。

python代码实现：

def fixDown(a,k,n): #自顶向下堆化，从k开始堆化
    N=n-1
    while 2*k<=N:
        j=2*k
        if j<N and a[j]<a[j+1]: #选出左右孩子节点中更大的那个
            j+=1
        if a[k]<a[j]:
            a[k],a[j]=a[j],a[k]
            k=j
        else:
            break
 
def heapSort(l):
    n=len(l)-1
    for i in range(n//2,0,-1):
        fixDown(l,i,len(l))
    while n>1:
        l[1],l[n]=l[n],l[1]
        fixDown(l,1,n)
        n-=1
    return l[1:]
 
l=[-1,26,5,77,1,61,11,59,15,48,19] #第一个元素不用，占位
res=heapSort(l)
print(res)