混沌的本质

混沌的本质

王玉平

内蒙古电大，呼和浩特　010051

摘要：以罗仑兹（Lorenz）系统及Logistic映射为例，阐述了混沌的本质以及混沌系统中的秩序。

关键词：混沌；状态空间；奇怪吸引子；拉伸与折叠；秩序。

　　在物理学的发展过程当中，物理学家求之不得的是可以用最简洁的数学语言来描述最普遍的物理现象，它既可以描述物理世界的如今，也可以准确地预测事物发展的将来。二十世纪之前，科学家们以坚决的信心来建立完美的物理学大厦，近一个世纪以来，随着研究领域的日趋普遍，新的物理现象不断涌现，新的物理规律不断创建，物理学家才意识到“完美的大厦”只是一个遥远的梦想，首先海森伯测不许关系代表，准确地测量粒子的位置和速度受到某一基本的限制，而混沌现象的发现，代表预测系统的将来受到了根本的限制。固然这并不意味着物理学的发展走到了尽头，只是使咱们认识到了愿望与现实之间的差距，并找到了一条认识复杂世界的正确道路，由于现实世界多数是非线性的，之前解决此类问题时，可能是将其简化为线性系统来作近似处理，不然只能束之高搁了，今天随着混沌理论的创建和计算机技术的应用，使的科学家有了处理此类问题的能力。

1、混沌系统

　　天然界只有一个，但其表现行为纷繁复杂，根据其复杂程度的不一样能够分为肯定论系统和随机系统。肯定论系统指的是：根据系统的运动方程及初始条件就能够肯定系统行为的演化。肯定论系统的运动方程每每有闭型解，其解是用初始状态来表示任意时刻状态的公式，于是只要知道初始状态和最终时间就能够预测将来，与状态的中间过程无关。即便初始条件有微小的误差，其结果的误差也不大，即系统的行为是彻底肯定的，牛顿力学是肯定论的典型表明。例如：根据行星的运动方程以及日、地、月的初始状态，就能够预测几百年甚至几千年后的日食和月食。对于随机系统来讲，影响系统行为的因素很是多，诸多因素构成的因果关系很是复杂，使得系统的行为方式具备高度的随机性，以统计力学和量子力学为表明的几率论是处理此类复杂系统的主要工具。

　　不管是肯定论系统，仍是随机系统，都是构成物理世界的两个极端状况，并且也不是绝对的，出人意料的是，只有不多几个参量的肯定论系统竟会产生随机性为，这种随机性行为并不是来自外界的干扰，而是系统的一种根本性质。事实上，许多具备肯定的微分方程（或离散变量的映射）的非线性系统，在必定条件下表现出了随机行为，更使人惊奇的是，这种随机行为中蕴涵着必定的秩序。咱们把非线性的肯定论系统表现出的随机行为称为混沌。它是看似随机却并不是彻底随机的系统。混沌理论的发现突破了肯定论与随机论之间不可逾越的障碍。混沌系统产生随机行为的根源在于系统的非线性，表现为系统对初始状态的敏感依赖性，即不管初始状态的偏差多么微小，都会随系统的演化而迅速放大，就象一盘理想化的台球，假设球在台面上运动和相互碰撞均不损失能量，尽一切可能保持每次初始击球状态的一致性，随着球的碰撞次数的增长，球的运动状态会变的面目全非；一样的例子是福利彩券的摇奖过程。这主要是因为系统在演化过程当中偏差成指数增加，不管多么小的偏差都会迅速增加到彻底影响系统宏观行为的程度，于是混沌系统的长期行为是不可预测的。

2、系统的刻画

　　混沌理论研究的是有几个变量的数学模型所肯定的动力系统，动力系统由两部分组成，即状态与动态特性，状态是指描述系统基本状况的物理参量，动态特性则是描述系统状态如何随时间变化的规则。研究动力系统的目的就是预测过程的最终发展结果，即测量出某一时刻系统的初始状态，而后预测之后的时间序列中系统的长期特性（或渐进特性）。若动力系统随时间是连续变化的，则称这种连续变化的时间为时间流。单摆的运动状态就是连续的，于是能够用连续的时间流描述，描述此类系统的数学工具是微分方程。若动力系统的变化是发生在不连续的时间中，则称这种离散的时间为映射。例如在特定区域内每一年新生的昆虫个数就是用离散的时间映射描述的，处理映射的数学工具是差分方程。

　　对混沌系统最直观的描述是状态空间的引入，它是一种抽象的结构，其坐标为状态的各个份量（或动力系统的自由度）。在力学系统中状态空间能够由位置和速度来描述，而在生态系统中，状态空间是由虫口数描述的。以稳定的单摆系统为例，在近平衡条件下，非阻尼摆的状态空间由图一所示，系统的每一状态与状态空间的一点对应，当摆来回摆动时，状态空间中的点造成一椭圆轨道。

 

图一　单摆轨道
　　对于混沌系统来讲，因为其长期行为的不可预测性，所以必须用渐进的方法来探索系统的状态，并获得一系列的状态值，咱们把动力系统中的一点或一个数连续迭代所产生的序列称为轨道。上述单摆系统的轨道是一个椭圆，它表示系统的运动是周期性的。阻尼摆的运动再也不是周期性的，在状态空间的轨道盘旋缩小，最后静止在原点的一条螺旋线，

能够看出，状态空间能以直观的几何形式表现系统的行为，阻尼摆最终会停下来，这意味着轨道最终会趋于一个不动点，它好象吸引了邻近轨道，所以称为吸引子，所谓吸引子是指系统反复出现或愈来愈逼近的状态集。它是刻画系统在状态空间中长期行为的几何形式，是系统行为的最后归宿。阻尼摆的吸引子是一个不动点，实际上任意随时间归于静止的系统均可以由状态空间中的一个不动点描述。近平衡条件下的非阻尼摆，其吸引子为一极限环（见图一），它表示系统做周期运动。另外一类更复杂的吸引子是二维环面吸引子，其结构相似面包圈的表面，它反映了系统的拟周期运动，对于拟周期运动，虽然状况较为复杂一些，但系统的行为仍然是能够预测的，由于在二维环面吸引子上，初始状态靠的很近的轨道始终靠的比较近，随系统的发展偏差变化不大，所以长期预测是可靠的。咱们把可预测系统的吸引子（不动点、极限环、二维环面）称为平庸吸引子。平庸吸引子的最大特色是，初始状态相近的轨道，始终比较接近，偏差始终局限在必定范围内，所以系统的长期行为是能够预测的。

3、蝴蝶效应

在发现混沌现象以前，科学家们一直认为微分方程的解只有四种类型：不动点；极限环；二维环面；发散轨道。1963年麻省理工学院的气象学家罗伦兹（E.N.Lorenz）在研究天气的不可预测性时，从流体的运动方程出发，经过简化方程得到了具备三个自由度的系统，并再计算机上用他所创建的微分方程模拟气候变化，意外地发现，初始条件的极微差异能够引发模拟结果的巨大变化，这代表天气过程以及描述它们的非线性方程是如此的不稳定，以致巴西热带雨林的一只蝴蝶偶然拍动一下翅膀，几星期后能够在美国德克萨斯州引发一场龙卷风，这就是天气的“蝴蝶效应”。

罗沦兹方程的具体形式为

　 　（1）

　　 （2）

　　　　（3）

其中x、y、z、为无量纲量，分别表征对流强度，对流中升流与降流间的温差和竖直方向温度分布的非线性度。任意给定初值，系统最终都会回到状态空间的特定区域内，其吸引子具备精巧而奇特的结构，如图三所示，代表系统进入了混沌状态。

 

图三 Lorenz混沌吸引子

　　蝴蝶效应代表，初始条件的极细微变化，随着时间的推移会显著地影响系统的宏观行为，反映在状态空间中，初始状态很是接近的二条轨道，只在很短的时间内靠的比较近，而后会迅速散开，所以根据初始状态预测系统的长期行为，会因为偏差的迅速扩大，使长期行为的预测受到了根本的限制。

　　混沌吸引子较平庸吸引子要复杂的多，其最大特色是，初始状态相近的二条轨道会迅速散开，而后再次靠近，再迅速散开，且这种聚散行为具备随机性，因此混沌吸引子也称为奇怪吸引子。

4、混沌的本质

　　为了可以更近一步认识混沌的本质，有必要从新认识混沌吸引子的构造，首先，因为受到测量精度和海森伯测不许关系的限制，初始状态的测量不可能绝对精确，反映在状态空间就不多是一个点，而是具备偏差的一个小区域，随着动力系统的演化，偏差会迅速放大，在状态空间中表现为两条很近的轨道迅速远离，一般称这一过程为对状态空间的拉伸操做。因为系统的状态是局限在吸引子区域内的，于是远离的轨道会弯曲过来再次靠近（但不相交），这一过程称为对状态空间的折叠操做，随着系统的演化，拉伸和折叠操做反复进行，两条初始状态很近的轨道会布满整个吸引子区，换句话说，初始测量偏差很快布满整个吸引子区，这也是混沌系统表现出随机行为的根本缘由。另外须要指出的是，因为对状态空间反复进行拉伸和折叠操做，于是混沌吸引子的表面不是光滑的，存在许多皱折，且皱折中嵌套着皱折，无限循环下去。若是咱们把皱折充分放大，会发现其结构与所在区域的总体结构具备类似性，这种无限嵌套的自类似几何结构称为分形（fractals）。

　　混沌现象的产生并不是由系统外界随机因素影响而致，而是因为系统自己非线性相互做用的结果，于是不能经过下降“噪声”来消除系统的随机行为,因为混沌系统的复杂性，于是能够用新的物理量来定性地描述，这就是“状态熵”的引入，用来反映系统状态的变化趋势，当系统轨道发散时，亦即对状态空间拉伸操做时，状态熵增长，非线性自相互做用使系统有“状态增益”的趋势；当系统轨道收敛时，也就是对状态空间进行折叠操做时，系统状态熵减小，非线性自相互做用使系统有“状态损益”的趋势。若是事实果然如此的话，对于象宇宙这样的非线性系统，不管其是有限的仍是无限的，因为非线性自相互做用，宇宙永远不会趋于“热寂”，就局部来看，引力黑洞就是状态熵减小的一个例子，而星系爆发就是状态熵增长的例子，并且星系构造的分形特征也是显而易见的，那么把整个宇宙当作一个封闭的热力学系统，并推断出其最终趋于“热寂”的方法就是片面的。

5、通向混沌的道路

谈到混沌系统，因为其行为的复杂性，每每认为其动态特性（运动方程）也必定很是复杂，事实并不是如此，一个参量不多、动态特性很是简单的系统有时也可以产生混沌现象，以一维虫口模型为例，假设某一区域内的现有虫口数为y_n，昆虫的繁殖率为μ，且第n代昆虫不能存活于第n+1代，既无世代交叠，则第n+1代虫口数为 ，μ＞1时，虫口会无限制地增加；μ＜1时，虫口最终会趋于消亡，所以须要对模型进行修正。因为环境的制约和食物有限，因争夺生存空间发生相互咬斗事件的最大次数为，即制约虫口数的因素与 成正比，设咬斗事件的战死率为β则对虫口的修正项为- ，则有：

　　（4）

，上式可写为 　

　　（5）

取最大虫口数为1，且虫口数不能为负，则 ；当 =0.5时，方程有极大值 ，而 又必须小于1，于是μ＜4，则参量μ的取值范围为1到4，这就获得一个抽象的标准虫口方程（5），这一迭代关系一般称为逻辑斯蒂映射（logistic map）。一个看似简单的系统，随着参量的不一样会表现出大相径庭的行为，当μ的取值范围在1~3时，方程（5）有定态解.

　　　(6)

　　即方程经过屡次迭代后趋于一个稳定的不动点，此时系统是稳定的。μ在3~3.448范围内取值时，通过屡次迭代，方程（5）出现周期二解

　　　（7）

　　（8）

随着μ的增大，μ=3.449；3.544;3.564…依次出现周期四、周期八、周期16…的振荡解，这种行为称为倍周期分岔，直到μ＞3.5699时，系统进入了混沌状态，如图四所示，此时系统的状态再也不具备规律性，而是发生随机的波动，使图四右侧的大部分区域被涂黑了，仔细观察发现，混沌区域并不是一片涂斑，而是有粗粗细细的白色“竖线”，称为周期窗口，随着参量μ的增大（如）时，混沌忽然消失，系统出现周期三的稳定状态，

 

图四 Logistic映射分差图

　　接着倍周期分岔以更快的速度进行，再次进入混沌状态。若是将周期窗口放大，发现其结构与分岔图的总体结构具备类似性，并且是一种无限嵌套的自类似结构。

　　能够看出，经过改变系统参量，使系统进入混沌的第一种模式是倍周期分岔，即由不动点→周期二→周期四→…无限倍周期→进入混沌状态。固然通向混沌的道路不仅于此，第二种通向的道路是：从平衡态到周期运动，再到拟周期运动，直到进入混沌状态。第三种通向混沌的方式是阵发（或间歇）道路，即系统在近似周期运动的过程当中，经过改变参量，系统会出现阵发性混沌过程，随着参量的调整，阵发性混沌愈来愈频繁，近似的周期运动愈来愈少，最后进入混沌。

6、混沌系统中的秩序

虽然混沌系统具备复杂性和不可预测性，但期间也蕴涵着某种规律性，（一）混沌系统中广泛存在奇怪吸引子，不管系统的动态特性多么复杂以及初始状态如何不一样，系统的状态最终会回到吸引子区；（二）系统状态的终态集具备精巧的几何结构，奇怪吸引子具备无限嵌套的自类似性；（三）在通往混沌的道路上，倍周期分岔点的收敛速率是一普适常数。

以logistic映射为例，费根鲍姆常数…，这一常数一样适用于许多其它混沌系统，于是具备普适性。

参考书目：

[1]《大学物理》　常树人等　　混沌浅说1999.10　39—42

[2]《大学物理》（当代物理前沿专题部分） 蔡枢 吴铭磊 高等教育出版社 136—143

内蒙古广播电视大学 王玉平

贝塔朗菲定义1：系统是相互联系、相互做用着的诸元素的集，或统一体。
      钱学森定义1：什么叫系统，系统就是有许多部分组成的总体，因此系统的概念就是要强调总体，强调总体是由相互关联、相互制约的各个部分所组成的。
      定义1强调：（1）元素间的相互联系、相互做用及系统的总体性，系统不是诸部分无组织的拼合物，而是由各部分组织而成的统一的总体。（2）系统是由元素集和关系集共同决定的，元素间的相互关系与元素自己同样重要，不可忽略。（3）系统内不存在独立于相互关系的孤立部分（或孤立元）。
      根据该定义，肯定总体性与组织性（或相关性）是系统最基本的特征，它们是由系统自己的规定性所决定，也是区别于以往科学研究对象的最明显的特征。总体性是系统最突出、最基本的特征之一。系统指的是"总体"即"有组织的统一体"，系统之因此为系统就是由于系统是做为一个有机总体而不是各部分的简单相加而存在的，是否具备总体性，即"有组织的统一体"是区分系统与非系统的判据。系统内部的组织性是系统具备总体性的缘由。系统论中组织性主要指各部分间的相关性，系统论强调组成系统的各部分之间的相互关系和相互做用。

      贝塔朗菲定义2：系统是"处于必定的相互关系中并与环境发生关系的各部分组成部分的整体（或集）"。
      钱学森定义2：系统是由相互做用和相互依赖的若干组称各部分合成的具备特定功能的有机总体，并且这个系统自己又是它所从属的一个更大系统的组成部分。
      定义2强调：（1）系统的功能，即系统与环境的相互联系和做用。系统不只具备总体性的"组织"，即总体结构，并且具备总体性的行为和功能。（2）系统的开放性。（3）系统的多级层次性。
      定义2明确规定了系统与环境不可分割的关系，从而代表了系统科学与经典科学的另外一重要差异。系统科学再也不遵循系统的孤立原则，"把现象隔离于狭窄的封闭或孤立状态中，而开始考察它们之间的相互做用并考察愈来愈大的天然界对象"。系统科学不只考虑同一层次间各部分的相互做用，并且考虑不一样层次间的相互做用。




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