点到直线距离

先说结论：

假设平面的通常式方程

• Ax +By +Cz + D = 0
• 其中n = (A, B, C)是平面的法向量

• 法向量的A，B，C能够和D同时乘以或除以一个数，所表明的平面不变。

• 任意一个点到平面距离通常形式：（更高纬也ok）
  \[d=\frac{平面方程代入点坐标}{平面法向量的二范数}\]

• 标量形式：
  \[d=\frac{Ax +By +Cz+D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\]

• 向量形式：
  平面能够表示为\(w^Tx + b = 0\),能够是N维超平面，则：
  \[d=\frac{|w^Tx + b|}{||w||}\]

标量形式，以三维为例：

平面的通常式方程

Ax +By +Cz + D = 0

其中n = (A, B, C)是平面的法向量，D是将平面平移到坐标原点所需距离（因此D=0时，平面过原点）

向量的模（长度/二范数）

给定一个向量V（x, y, z),则\(|V| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)

向量的点积（内积）

给定两个向量\(\vec V_1(x_1, y_1, z_1)\)和\(\vec V_2(x_2, y_2, z_2)\)则他们的内积是

\(<V_1·V_2> = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2\)

点到平面的距离

几何解法：

有了上面的准备知识，则求点到直线的距离再也不是难事，有图有真相

若是法相量是单位向量的话，那么分母为1

向量形式：

其实就是SVM的几何间隔过程，假设有平面：

若是已知平面方程\(w^Tx + b = 0\)和A点的坐标
For point A, which represents the input \(x^{(i)}\) with label \(y ^{(i)} = 1\), its distance to the decision boundary,$y ^{(i)} $ , is given by the line segment AB.
Question: how to find the value of \(γ ^{(i)}\) ?
如何计算出来A到平面的距离 \(γ ^{(i)}\) ？

• Point B is given by \(x ^{(i)} − γ ^{(i)} ω/ ||ω||_2\)
  • 假如A是\((x^{(i)},y^{(i)})\),B的X坐标能够使用γ和A的坐标计算出来。
  • 就是： \(x ^{(i)} − γ ^{(i)} ω/ ||ω||_2\) （由于长度是\(γ\),w是法向，除掉以后是单位向量。A的x减去法向上的长度就是B的x的值？）
• B lies in the decision boundary:
  • 由于B在决策边界（分类面）上，把B的x坐标代入分类面（或直线）方程：