『笔记』中国剩余定理（CRT）

定义

中国剩余定理(Chinese Remainder Theorem, CRT)可求解以下形式的一元线性同余方程组（其中 \(w_1,w_2,w_3……w_n\) 两两互质）：

\[\begin{cases} x\equiv b_1\ \ (\bmod w_1) \\x \equiv b_2 \ \ (\bmod w_2)\\x \equiv b_3 \ \ (\bmod w_3)\\x \equiv b_4 \ \ (\bmod w_4) \\ …… \\x \equiv b_n \ \ (\bmod w_n) \end{cases}\]

然而这个东西相对于一样能够解决这个问题的\(excrt\) 有着很大的限制，因此在这里并不作过多说明

应用

仍是上面的方程组，求知足这个方程组的最小非负整数解 \(x\)

假设\(M=\prod_{i=1}^{k-1} \ \ lcm(w_i,M)\)

首先咱们已经假设求出了前 \(k-1\) 个方程的解 \(x_0\) ，那么前 \(k-1\) 个方程的通解即为

\[x_0+i\times M \ \ (i\in Z) \]

那么如今引入第 \(k\) 个方程

那么也就是找出一个正整数 \(t\) 使得

\[x_0+t\times M\equiv b_i\ \ (\bmod w_k) \]

成立

移项能够获得

\[t\times M\equiv b_i-x_0\ \ (\bmod w_k) \]

那么这个方程能够用扩欧求得解 \(t\)

此时的答案 \(x\) 即为 $x_0+t \times M $

实现

注：该实现仅表明本人的一点看法，因为初学，知识浅薄，仅能理解到表面，若有差错请指出

首先能够把\(M=m_1,x=b_1\)用第一个方程做为基层来一步步求得后面的方程

当咱们经过扩欧求得的 \(t\) 的时候，此时咱们是求得的方程原型为

\[t\times M+y\times w_k=gcd(M,w_k) \]

要想进一步求得真正的 \(t\) 还要乘上 \(c/gcd(M,w_k)\)才能够，而且此时的模数能够为 \(b\),应用龟速乘进行求解便可

而后更新\(M=M\times w_k/gcd(M,w_k)\)

直到完成为止

代码

完整代码OVO，请食用