给定节点数，判断二叉搜索树的数量 Unique Binary Search Trees

问题：

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

解决：

① 二叉搜索树有个性质，就是左边的数都比根小，右边的数都比根大。另外，题目说明二叉树的节点是从1到n，因此咱们能肯定若是根为k，则根左边的数是1到k-1，根右边的数是k+1到n。时间 O(N!) 空间 O(N)

这道题其实是 Catalan Number卡塔兰数的一个例子，当 n = 1时，只能造成惟一的一棵二叉搜索树，n分别为1,2,3的状况以下所示：

n = 0 时赋为1，由于空树也算一种二叉搜索树；

n = 1时的状况能够看作是其左子树个数乘以右子树的个数，左右字数都是空树，因此1乘1仍是1。

n = 2时，因为1和2均可觉得根，分别算出来，再把它们加起来便可。n = 2的状况可由下面式子算出：       

dp[2] =  dp[0] * dp[1]　　　(1为根的状况)

　　　　+ dp[1] * dp[0]　　  (2为根的状况)

同理可写出 n = 3 的计算方法：

dp[3] =  dp[0] * dp[2]　　　(1为根的状况)

　　　　+ dp[1] * dp[1]　　  (2为根的状况)

 　　　  + dp[2] * dp[0]　　  (3为根的状况)

由此能够得出卡塔兰数列的递推式为：

因此，能够获得以下代码：

class Solution { //0ms     public int numTrees(int n) {         int[] dp = new int[n + 1];         dp[0] = 1;         dp[1] = 1;         for (int i = 2;i <= n;i ++ ) {//计算节点数2到n的BST             for (int j = 0;j < i ;j ++ ) {                 dp[i] += dp[j] * dp[i - j - 1];             }         }         return dp[n];     } }