【NOI 2018】归程（Kruskal重构树）

题面在这里就不放了。

同步赛在作这个题的时候，内心有点纠结，很容易想到离线的作法，将边和询问一块儿按水位线排序，模拟水位降低，维护当前的各个联通块中距离$1$最近的距离，每次遇到询问时输出所在联通块的信息。

离线的思路对满分作法有必定的启发性，很容易想到将并查集持久化一下就能支持在线了。

可是这个是两个$log$的，有卡常的风险也不是很方便写。

当时思考了一下就快速写完离线作法就去作其余题了。

对于这道题，有一个更好的作法：Kruskal重构树。

事实上若是你了解这个东西，那你就能很快的给出解，那仅此以这道题做为学习Kruskal重构树的例子。

先给出一个经典的模型：

• 给定一张无向图，每次询问两点之间全部简单路径中最大边权的最小值。

一个常规的作法就是建出最小生成树，答案就是树上路径的最大边权，正确性显然。

固然也能够用咱们要讲的Kruskal重构树来解决，算法虽不一样，思想相似。

Kruskal中咱们链接两个联通块（子树）时直接用一条边将对应的两个点相连，但在Kruskal重构树中，咱们先建一个虚点做为两个子树的树上父亲，让两个联通块分别与该点相连，注意的是要维护并查集合并时的有序性。

咱们称新建的虚点为方点，表明了原图中的一条边，原图中的点为圆点，则该树有一些优雅的性质：

1. 这是一颗二叉树，而且至关于一个堆，由于边是有顺序合并的。
2. 最小生成树上路径的边权信息转化成了点权信息。

那么回顾刚刚的那个模型，每一个询问就至关于回答Kruskal重构树上两点$lca$的权值。

 

最后在回来看这道题，就显得十分轻松了。

咱们把每条边按照水位线从高到低依次插入，能够发现每次规定一个水位下限，车子能走的范围对应了Kruskal重构树上的一棵子树，那么每次只要倍增找到最紧的那个限制的点就能够了。

 1 #include <cstdio>
 2 #include <queue>
 3 #include <cstring>
 4 #include <algorithm>
 5 
 6 typedef long long LL;  7 const int N = 600005, INF = 2e9 + 7, LOG = 21;  8 
 9 int tc, n, m, Qi, k, s;  10 int dis[N], flg[N], val[N], mdi[N], gr[LOG][N];  11 std::priority_queue<std::pair<int, int> > Q;  12 
 13 inline void Read(int &x) {  14     x = 0; static char c;  15     for (c = getchar(); c < '0' || c > '9'; c = getchar());  16     for (; c >= '0' && c <= '9'; x = (x << 3) + (x << 1) + c - '0', c = getchar());  17 }  18 
 19 struct Edge {  20     int u, v, a;  21     inline friend bool operator < (Edge a, Edge b) {  22         return a.a > b.a;  23  }  24 } e[N];  25 
 26 int yun, las[N], to[N << 1], pre[N << 1], wi[N << 1];  27 inline void Add(int a, int b, int c = 0) {  28     to[++yun] = b; wi[yun] = c; pre[yun] = las[a]; las[a] = yun;  29 }  30 void Gragh_clear() {  31     memset(gr, 0, sizeof gr);  32     memset(las, 0, sizeof las);  33     yun = 0;  34 }  35 
 36 namespace DSU {  37     int fa[N];  38     void Init() {  39         for (int i = 1; i <= n + m; ++i) {  40             fa[i] = i;  41             if (i <= n) mdi[i] = dis[i], val[i] = -1;  42  }  43  }  44     int Seek(int x) {  45         return (x == fa[x])? (x) : (fa[x] = Seek(fa[x]));  46  }  47     void Merge(int x, int y) {  48         fa[Seek(y)] = x;  49  }  50 }  51 
 52 void Dij() {  53     for (int i = 1; i <= n; ++i) {  54         dis[i] = INF; flg[i] = 0;  55  }  56     dis[1] = 0;  57     Q.push(std::make_pair(0, 1));  58     for (; !Q.empty(); ) {  59         int x = Q.top().second; Q.pop();  60         if (flg[x]) continue;  61         flg[x] = 1;  62         for (int i = las[x]; i; i = pre[i]) {  63             if (dis[to[i]] > dis[x] + wi[i]) {  64                 dis[to[i]] = dis[x] + wi[i];  65                 Q.push(std::make_pair(-dis[to[i]], to[i]));  66  }  67  }  68  }  69 }  70 
 71 int main() {  72     freopen("return.in", "r", stdin);  73     freopen("return.out", "w", stdout);  74     
 75     scanf("%d", &tc);  76     for (; tc; --tc) {  77         scanf("%d%d", &n, &m);  78  Gragh_clear();  79         for (int i = 1, x, y, a, l; i <= m; ++i) {  80             //scanf("%d%d%d%d", &x, &y, &l, &a);
 81  Read(x); Read(y); Read(l); Read(a);  82  Add(x, y, l); Add(y, x, l);  83             e[i] = (Edge) { x, y, a };  84  }  85  Dij(); DSU::Init();  86         
 87         std::sort(e + 1, e + 1 + m);  88         for (int i = 1; i <= m; ++i) {  89             int x = DSU::Seek(e[i].u), y = DSU::Seek(e[i].v);  90             if (x == y) continue;  91             val[i + n] = e[i].a;  92             mdi[i + n] = std::min(mdi[x], mdi[y]);  93             DSU::Merge(i + n, x); DSU::Merge(i + n, y);  94             gr[0][x] = gr[0][y] = i + n;  95  }  96         
 97         for (int i = 1; i < LOG; ++i) {  98             for (int j = 1; j <= n + m; ++j) {  99                 if (gr[i - 1][j]) gr[i][j] = gr[i - 1][gr[i - 1][j]]; 100  } 101  } 102         
103         scanf("%d%d%d", &Qi, &k, &s); 104         for (int x, a, lans = 0; Qi; --Qi) { 105             //scanf("%d%d", &x, &a);
106  Read(x); Read(a); 107             x = (x + (LL) k * lans - 1) % n + 1; 108             a = (a + (LL) k * lans) % (s + 1); 109             for (int i = LOG - 1; ~i; --i) { 110                 if (gr[i][x] && val[gr[i][x]] > a) x = gr[i][x]; 111  } 112             printf("%d\n", mdi[x]); 113             lans = mdi[x]; 114  } 115  } 116     
117     return 0; 118 }

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$\bigodot$技巧＆套路：

• kruskal重构树的构建，最小生成树上最值问题的再探。