「SOL」Bad Cryptography(Codeforces)

为何这几天想要写博客呢？
由于感受本身也没有几天了，如今多写一些至少证实本身涉足过OI这个领域

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# 题面

若记 \(a,b\) 的「NIM积」为 \(a\odot b\)，则有如下性质：

• 对于任意正整数 \(k\)，数集 \(A_k=\{x\mid x\in\mathbb{N},x<2^{2^k}\}\) 知足 \(\forall x,y\in A_k,x\odot y\in A_k\)（运算在 \(A_k\) 内封闭）；
• \(a\odot 1=a\)（单位元）；
• \(a\odot 0=0\)（零元）；
• \(a\odot b=b\odot a\)（交换律）；
• \((a\odot b)\odot c=a\odot(b\odot c)\)（结合律）；
• \(a\odot(b\otimes c)=(a\odot b)\otimes(b\odot c)\)，其中 \(\otimes\) 是按位异或（分配律）；

记 \(a^{\odot b}=\overbrace{a\odot a\odot a\odot\cdots\odot a}^{b个}\)。给定 \(a,b\) 求解方程：

\[a^{\odot x}=b \]

多组询问，每次给定 \(a,b\)。数据规模：\(a,b< 2^{64}\)，数据组数不超过 \(100\)。

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# 解析

不是很清楚「NIM积」的一些技巧，因此此篇不涉及「NIM积」计算的优化。
另外本篇中极有可能有不严谨的地方 ╯︿╰ 但愿各位能指出

记数集 \(A=\{x\mid x\in[1,2^{64}),x\in\mathbb{N}^+\}\)。（注意排除了 \(0\)）

根据NIM积的上述性质，能够推断 \((A,\odot)\) 是乘法群（知足封闭性、结合律、有单位元和逆元）。如下简记「NIM积」为「乘法」。

群的大小（数集的大小为）记为 \(F=2^{64}-1\)，则有 \(\forall a\in A,a^F=1\)（能够类比整数模 \(n\) 乘法群）。

回过头来看题目给定的问题

\[a^x=b \]

是一个离散对数的经典模型。可是数集大小 \(F\) 太大，并不能 \(O(\sqrt F)\) 用 BSGS 暴力求解。

观察到 \(F\) 并不是素数，实际上质因数分解获得

\[F=3\times5\times17\times257\times641\times65537\times6700417 \]

这些质因子都不大，考虑可否对单个质因子求解，而后获得原问题的答案。

好比对质因子 \(p\) 单独求解。不妨设 \(x=kp+r\)，则：

\[a^{kp+r}=b \]

通过下列推导（注意 \(p\mid F\)）：

\[\begin{aligned} a^{kpF+rF}&=b^F\\ a^{kF+r\frac{F}{p}}&=b^{\frac{F}{p}}\\ \end{aligned} \]

上述方程有两个未知数 \(k,r\)。可是由于 \(a^F=1\)，有

\[\Big(a^{\frac{F}{p}}\Big)^{r}=b^{\frac{F}{p}} \]

相似的，定义 \(a\) 的阶 \({\rm ord}\ a\) 为知足 \(a^k=1\) 的最小正整数 \(k\)，则

• \({\rm ord}\ a\mid F\)，显然有 \({\rm ord}\ a\le F\)；
• 若 \(k\mid F\)，则 \({\rm ord}\ a^k=\frac{{\rm ord}\ a}{k}\)。

所以 \({\rm ord}\ a^{\frac{F}{p}}=\frac{p}{F}{\rm ord}\ a\le p\)。也就是说，若是 \(\Big(a^{\frac{F}{p}}\Big)^{r}=b^{\frac{F}{p}}\) 的解 \(r\) 存在，那么必然存在特解 \(r=r_0\)，\(r_0\le p\)。

\(p\) 较小，能够直接 BSGS \(O(\sqrt{p})\) 的复杂度内求解。

解出 \(r\) 后，有：

\[\begin{aligned} a^{kp+r}&=b\\ (a^p)^k&=b\cdot a^{-r} \end{aligned} \]

\(a^{-r}=a^{F-r}\)，相似于费马小定理求逆元。因而转化为子问题，\(a'=a^p\)，\(b'=b\cdot a^{-r}\)，求解未知数 \(k\)。

记对第 \(i\) 个质因子执行上述过程后获得的方程是

\[a_i^{k_i}=b_i \]

其中 \(k_i\) 是未知数。因而有 \(a_i=a_{i-1}^{p_i},b_i=b_{i-1}\cdot a^{-r_i}\)，\(k_i=k_{i+1}p_{i+1}+r_{i+1}\)。

对每一个质因子都作一次上述过程后，最后咱们会获得一个关于 \(k_7\) 的方程 \(a_7^{k_7}=b_7\)。这个方程如何求解？

实际上这个方程不须要求解——\(a_7=a^{p_1p_2\cdots p_7}=a^F=1\)，此时若 \(b_7=1\)，则有无穷解，取朴素解 \(k_7=1\)；若 \(b_7\neq1\)，则无解。

而后 \(k_i=k_{i+1}p_{i+1}+r_{i+1}\) 往回代，代出 \(k_1\)，而后获得 \(x=k_1p_1+r_1\)。

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# 源代码

/*Lucky_Glass*/
#include<map>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long llong;
typedef unsigned long long ullong;
#define con(type) const type &
template<class T>inline T rin(T &r){
	int b=1,c=getchar();r=0;
	while(c<'0' || '9'<c) b=c=='-'?-1:b,c=getchar();
	while('0'<=c && c<='9') r=(r<<1)+(r<<3)+(c^'0'),c=getchar();
	return r*=b;
}
template<class T>inline void wri(con(T)r){
	if(r<10) putchar(char('0'+r));
	else wri(r/10),putchar(char('0'+r%10));
}
const int PRES[]={3,5,17,257,641,65537,6700417};
const int SQRPRES[]={2,3,5,17,26,257,2589};
const ullong CONF=18446744073709551615ull;

int ncas;
ullong varr[10];
int nontag[10];

// 摘自 Freopen 的博客 https://blog.csdn.net/qq_35950004/article/details/107669351
ullong nim[256][256];
ullong nimMul(ullong a,ullong b,ullong L=64){ // L 
	if(a <= 1 || b <= 1) return a * b;
	if(a < 256 && b < 256 && nim[a][b]) return nim[a][b];
	/*
		X = 2 ^ L , L = 2 ^ p
		([a / X]X + a%X) * ([b / X]X + b%X)
		c = a % X , d = b % X
	*/
	ullong S = (1ull << L) - 1;
	if(a <= S && b <= S) return nimMul(a,b,L>>1);
	ullong A = nimMul(a>>L,b>>L,L>>1) , B = nimMul((a>>L)^(a&S),(b>>L)^(b&S),L>>1) , C = nimMul(a&S,b&S,L>>1);
	S++;
	ullong r = nimMul(A,S>>1,L>>1) ^ (S * (C^B)) ^ C;
	if(a < 256 && b < 256) nim[a][b] = r;
	return r;
}
ullong nimPow(ullong a,ullong b){
	ullong r=1;
	while(b){
		if(b&1) r=nimMul(a,r);
		a=nimMul(a,a),b>>=1;
	}
	return r;
}
int solve(con(ullong)a,con(ullong)b,con(int)conp,con(int)consqr){
	ullong x=nimPow(a,CONF/conp),y=nimPow(b,CONF/conp);
	map<ullong,int> mem;
	ullong tmp=y;
	for(int i=0;i<=consqr;i++,tmp=nimMul(tmp,x))
		if(!mem.count(tmp))
			mem[tmp]=i;
	tmp=1;
	ullong tmp_per=nimPow(x,consqr);
	for(int i=0;i<=consqr;i++,tmp=nimMul(tmp,tmp_per))
		if(mem.count(tmp) && i*consqr>=mem[tmp])
			return i*consqr-mem[tmp];
	return -1;
}
int main(){
	// freopen("input.in","r",stdin);
	rin(ncas);
	while(ncas--){
		ullong a,b;
		rin(a),rin(b);
		bool fai=false;
		memset(nontag,false,sizeof nontag);
		for(int i=0;i<7;i++){
			int res=solve(a,b,PRES[i],SQRPRES[i]);
			if(res==-2){
				nontag[i]=true;
				continue;
			}
			if(res==-1){
				fai=true;
				break;
			}
			varr[i]=res;
			ullong _b=nimMul(b,nimPow(a,CONF-res)),_a=nimPow(a,PRES[i]);
			a=_a,b=_b;
		}
		if(a!=b || nimMul(a,a)!=b) fai=true;
		if(fai) printf("-1\n");
		else{
			ullong x=0,mod=1;
			for(int i=6;~i;i--){
				if(nontag[i]) continue;
				mod*=PRES[i];
				x=x*PRES[i]+varr[i];
				if(x<0) x+=mod;
			}
			wri(x),putchar('\n');
		}
	}
	return 0;
}

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THE END

Thanks for reading!

若我是宇宙里眇小的一颗星星
在你目光里找到方向 从未想过 如此幸运
或许我曾片刻 指引迷途的你
勇敢前行 别在乎

——《守望者》By 司南

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