「SOL」SurroundingGame(TopCoder)

之前学过的内容，结果如今仍是不会……

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题面

有一个 \(n\times m\) 的棋盘，你能够花费 \(cost(i,j)\) 的代价在 \((i,j)\) 处放一颗棋子。

若是格子 \((i,j)\) 知足下面条件之一时，你能够获得 \(value(i,j)\) 的收益：

• \((i,j)\) 上有棋子；
• \((i,j)\) 的全部相邻的格子上都有棋子。

求“收益减花费”的最大值。

数据规模 \(n,m\le20\)。

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解析

分析题目，大概能够找到下面这些 0/1 变量：

• 格子 \((i,j)\) 是否放格子，记为 \(f(i,j)\)；
• 格子 \((i,j)\) 周围是否都有棋子，记为 \(g(i,j)\)；

假设咱们能够不花费任何代价就得到所有收益，再计算最小的“额外损失=花费+损失收益”，即想到最小割模型——二元关系最小割。因而继续分析变量的联系。

这些变量的两两联系也有两类（这里的“联系”指两变量共同影响答案）

• \(f(i,j)\) 和 \(g(i,j)\)，额外损失表以下：

  下 \(f(i,j)\) \ 右 \(g(i,j)\)	0	1
  0	\(value\)	\(0\)
  1	\(cost\)	\(cost\)

• \(g(i,j)\) 和相邻格子的 \(f\)，限制就是：若是 \(g(i,j)=1\)，则相邻格子的 \(f\) 也为 \(1\)；能够表示为 \(g(i,j)=1,f(邻)=0\) 的额外损失为 \(+\infty\)。

接下来就是建图，拿出二元关系最小割的模板，割左边表示选 \(0\)，割右边表示选 \(1\)：

对于 \(f(i,j)\) 和 \(g(i,j)\) 的联系：

\[\begin{cases} a+c=value&(1)\\ b+d=cost&(2)\\ a+d+f=0&(3)\\ b+c+e=cost&(4) \end{cases} \]

发现 \(K=e+f=(3)+(4)-(1)-(2)=-value<0\)，须要利用二分图的性质反向，则把 \(g\) 的含义反转，即割 \(c\) 表示选 \(1\)，割 \(d\) 表示选 \(0\)。则新的方程为：

\[\begin{cases} a+d+f=value\\ b+c+e=cost\\ a+c=0\\ b+d=cost\\ \end{cases} \]

直接解方程能够获得一组较简单的解：\(b=cost,f=value,a=c=d=e=0\)。

对于 \(g(i,j)\) 和相邻的 \(f\) 的联系也能够列出方程：

\[\begin{cases} a+c=+\infty\\ b+d=0\\ a+d+f=0\\ b+c+e=0 \end{cases} \]

仍然会发现 \(K=-\infty<0\)，再次利用二分图性质反向，可是 \(g\) 已经反过向了，只能把 \(f\) 反向——注意到方格图的相邻格子连边是自然的二分图，因此能够 \(f\) 能够反转。获得的方程是

\[\begin{cases} b+c+e=+\infty\\ a+d+f=0\\ b+d=0\\ a+c=0 \end{cases} \]

易得 \(e=+\infty,a=b=c=d=f=0\)。

最后整理获得流网络以下：

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源代码

/*Lucky_Glass*/
#include<queue>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N=405,M=N*6,INF=0x3f3f3f3f;
#define ci const int &

class SurroundingGame{
private:
    struct GRAPH{
        int head[N<<1],cap[M<<1],nxt[M<<1],to[M<<1],ncnt;
        GRAPH(){ncnt=1;}
        void AddEdge(ci u,ci v,ci varc){
            // printf("%d -> %d %d\n",u,v,varc);
            int p=++ncnt,q=++ncnt;
            to[p]=v,nxt[p]=head[u],head[u]=p,cap[p]=varc;
            to[q]=u,nxt[q]=head[v],head[v]=q,cap[q]=0;
        }
        inline int operator [](ci u){return head[u];}
    }Gr;
    int dep[N<<1],head[N<<1],St,Ed,n,m;
    inline int index(ci x,ci y,ci i){return 2*(x*m+y)+i;}
    bool BFS(){
        for(int i=1;i<=Ed;i++) dep[i]=-1,head[i]=Gr[i];
        queue<int> que;que.push(St),dep[St]=0;
        while(!que.empty()){
            int u=que.front();que.pop();
            for(int it=head[u];it;it=Gr.nxt[it]){
                int v=Gr.to[it];
                if((~dep[v]) || !Gr.cap[it]) continue;
                dep[v]=dep[u]+1;
                if(v==Ed) return true;
                que.push(v);
            }
        }
        return false;
    }
    int Aug(ci u,ci in){
        if(u==Ed) return in;
        int out=0;
        for(int &it=head[u];it;it=Gr.nxt[it]){
            int v=Gr.to[it];
            if(!Gr.cap[it] || dep[v]!=dep[u]+1) continue;
            int tov=Aug(v,min(in-out,Gr.cap[it]));
            out+=tov,Gr.cap[it]-=tov,Gr.cap[it^1]+=tov;
            if(in==out) break;
        }
        return out;
    }
    int Dinic(){
        int ret=0;
        while(BFS()) ret+=Aug(St,INF);
        return ret;
    }
    int charint(const char &c){
        if('0'<=c && c<='9') return c-'0';
        if('a'<=c && c<='z') return c-'a'+10;
        return c-'A'+36;
    }
    bool law(ci x,ci y){return 0<=x && x<n && 0<=y && y<m;}
public:
    int maxScore(vector<string> cost,vector<string> value){
        n=cost.size(),m=cost[0].length();
        St=n*m*2+1,Ed=St+1;
        const int DIR[4][2]={{0,1},{0,-1},{1,0},{-1,0}};
        int ans=0;
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=0;j<m;j++){
                if((i+j)&1){
                    Gr.AddEdge(St,index(i,j,1),charint(cost[i][j]));
                    Gr.AddEdge(index(i,j,1),index(i,j,2),charint(value[i][j]));
                    for(int k=0;k<4;k++){
                        int p=i+DIR[k][0],q=j+DIR[k][1];
                        if(law(p,q)) Gr.AddEdge(index(i,j,2),index(p,q,1),INF);
                    }
                }
                else{
                    Gr.AddEdge(index(i,j,1),Ed,charint(cost[i][j]));
                    Gr.AddEdge(index(i,j,2),index(i,j,1),charint(value[i][j]));
                    for(int k=0;k<4;k++){
                        int p=i+DIR[k][0],q=j+DIR[k][1];
                        if(law(p,q)) Gr.AddEdge(index(p,q,1),index(i,j,2),INF);
                    }
                }
                ans+=charint(value[i][j]);
            }
        return ans-Dinic();
    }
}test;

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THE END

Thanks for reading!

\[\begin{split} “\ &杏花吹落后\ 衣袂当风\\ &都去得匆匆\ 却恨谁的背影太从容\\ &这故事难道无关痒痛\\ &来势汹汹\ 怅然得连旁人都传颂\\ &到头去如何\ 心底犹空\ ”\\ ——&\text{《何日重到苏澜桥》By 泠鸢yousa} \end{split} \]

> By 何日重到苏澜桥-Bilibili