【转载】理解矩阵（一）

I. 前言

线性代数课程，不管你从行列式入手仍是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。好比说，在全国通常工科院系教学中应用最普遍的同济线性代数教材（如今到了第四版），一上来就介绍逆序数这个“前无古人，后无来者”的古怪概念，而后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另外一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。大多数像我同样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太“无厘头”了吧！因而开始有人逃课，更多的人开始抄做业。这下就中招了，由于其后的发展能够用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是一个一样无厘头可是伟大的无以复加的家伙的出场——矩阵来了！多年以后，我才明白，当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧叽的数括起来，而且不紧不慢地说：“这个东西叫作矩阵”的时候，个人数学生涯掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！自那之后，在几乎全部跟“学问”二字稍微沾点边的东西里，矩阵这个家伙从不缺席。对于我这个没能一次搞定线性代数的笨蛋来讲，矩阵老大的不请自来往往搞得我灰头土脸，头破血流。长期以来，我在阅读中一见矩阵，就如同阿Q见到了假洋鬼子，揉揉额角就绕道走。

事实上，我并非特例。通常工科学生初学线性代数，一般都会感到困难。这种情形在国内外皆然。瑞典数学家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics中说：“若是不熟悉线性代数的概念，要去学习天然科学，如今看来就和文盲差很少。”，然而“按照现行的国际标准，线性代数是经过公理化来表述的，它是第二代数学模型，...，这就带来了教学上的困难。”事实上，当咱们开始学习线性代数的时候，不知不觉就进入了“第二代数学模型”的范畴当中，这意味着数学的表述方式和抽象性有了一次全面的进化，对于从小一直在“第一代数学模型”，即以实用为导向的、具体的数学模型中学习的咱们来讲，在没有并明确告知的状况下进行如此剧烈的paradigm shift，不感到困难才是奇怪的。

大部分工科学生，每每是在学习了一些后继课程，如数值分析、数学规划、矩阵论以后，才逐渐可以理解和熟练运用线性代数。即使如此，很多人即便可以很熟练地以线性代数为工具进行科研和应用工做，但对于不少这门课程的初学者提出的、看上去是很基础的问题却并不清楚。好比说：

• 矩阵到底是什么东西？ 向量能够被认为是具备n个相互独立的性质（维度）的对象的表示，矩阵又是什么呢？咱们若是认为矩阵是一组列（行）向量组成的新的复合向量的展开式，那么为何这种展开式具备如此普遍的应用？特别是，为何恰恰二维的展开式如此有用？若是矩阵中每个元素又是一个向量，那么咱们再展开一次，变成三维的立方阵，是否是更有用？

• 矩阵的乘法规则究竟为何这样规定？ 为何这样一种怪异的乘法规则却可以在实践中发挥如此巨大的功效？不少看上去彷佛是彻底不相关的问题，最后居然都归结到矩阵的乘法，这难道不是很奇妙的事情？难道在矩阵乘法那看上去莫名其妙的规则下面，包含着世界的某些本质规律？若是是的话，这些本质规律是什么？

• 行列式到底是一个什么东西？ 为何会有如此怪异的计算规则？行列式与其对应方阵本质上是什么关系？为何只有方阵才有对应的行列式，而通常矩阵就没有（不要以为这个问题很蠢，若是必要，针对m x n矩阵定义行列式不是作不到的，之因此不作，是由于没有这个必要，可是为何没有这个必要）？并且，行列式的计算规则，看上去跟矩阵的任何计算规则都没有直观的联系，为何又在不少方面决定了矩阵的性质？难道这一切仅是巧合？

• 矩阵为何能够分块计算？ 分块计算这件事情看上去是那么随意，为何竟是可行的？

• 对于矩阵转置运算\(A^T\)，有\((AB)^T = B^TA^T\)，对于矩阵求逆运算\(A^{-1}\)，有\((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)。两个看上去彻底没有什么关系的运算，为何有着相似的性质？这仅仅是巧合吗？

• 为何说\(P^{-1}AP\)获得的矩阵与A矩阵“类似”？这里的“类似”是什么意思？

• 特征值和特征向量的本质是什么？ 它们定义就让人很惊讶，由于\(Ax =λx\)，一个诺大的矩阵的效应，居然不过至关于一个小小的数λ，确实有点奇妙。但何至于用“特征”甚至“本征”来界定？它们刻划的到底是什么？

这样的一类问题，常常让使用线性代数已经不少年的人都感到为难。就好像大人面对小孩子的刨根问底，最后总会无可奈何地说“就这样吧，到此为止”同样，面对这样的问题，不少老手们最后也只能用：“就是这么规定的，你接受而且记住就好”来搪塞。然而，这样的问题若是不能得到回答，线性代数对于咱们来讲就是一个粗暴的、不讲道理的、莫名其妙的规则集合，咱们会感到，本身并非在学习一门学问，而是被不禁分说地“抛到”一个强制的世界中，只是在考试的皮鞭挥舞之下被迫赶路，全然没法领略其中的美妙、和谐与统一。直到多年之后，咱们已经发觉这门学问如此的有用，却仍然会很是迷惑：怎么这么凑巧？

我认为，这是咱们的线性代数教学中直觉性丧失的后果。上述这些涉及到“如何能”、“怎么会”的问题，仅仅经过纯粹的数学证实来回答，是不能令提问者满意的。好比，若是你经过通常的证实方法论证了矩阵分块运算确实可行，那么这并不可以让提问者的疑惑获得解决。他们真正的困惑是：矩阵分块运算为何居然是可行的？究竟只是凑巧，仍是说这是由矩阵这种对象的某种本质所必然决定的？若是是后者，那么矩阵的这些本质是什么？只要对上述那些问题稍加考虑，咱们就会发现，全部这些问题都不是单纯依靠数学证实所可以解决的。像咱们的教科书那样，凡事用数学证实，最后培养出来的学生，只能熟练地使用工具，却欠缺真正意义上的理解。

自从1930年代法国布尔巴基学派兴起以来，数学的公理化、系统性描述已经得到巨大的成功，这使得咱们接受的数学教育在严谨性上大大提升。然而数学公理化的一个备受争议的反作用，就是通常数学教育中直觉性的丧失。数学家们彷佛认为直觉性与抽象性是矛盾的，所以绝不犹豫地牺牲掉前者。然而包括我本人在内的不少人都对此表示怀疑，咱们不认为直觉性与抽象性必定相互矛盾，特别是在数学教育中和数学教材中，帮助学生创建直觉，有助于它们理解那些抽象的概念，进而理解数学的本质。反之，若是一味注重形式上的严格性，学生就好像被迫进行钻火圈表演的小白鼠同样，变成枯燥的规则的奴隶。

对于线性代数的相似上述所提到的一些直觉性的问题，两年多来我断断续续地反复思考了4、五次，为此阅读了好几本国内外线性代数、数值分析、代数和数学通论性书籍，其中像前苏联的名著《数学：它的内容、方法和意义》、龚昇教授的《线性代数五讲》、前面提到的Encounter with Mathematics（《数学概观》）以及Thomas A. Garrity的《数学拾遗》都给我很大的启发。不过即便如此，我对这个主题的认识也经历了好几回自我否认。好比之前思考的一些结论曾经写在本身的blog里，可是如今看来，这些结论基本上都是错误的。所以打算把本身如今的有关理解比较完整地记录下来，一方面是由于我以为如今的理解比较成熟了，能够拿出来与别人探讨，向别人请教。另外一方面，若是之后再有进一步的认识，把如今的理解给推翻了，那如今写的这个snapshot也是颇有意义的。

由于打算写得比较多，因此会分几回慢慢写。也不知道是否是有时间慢慢写完整，会不会中断，写着看吧。

---

今天先谈谈对线形空间和矩阵的几个核心概念的理解。这些东西大部分是凭着本身的理解写出来的，基本上不抄书，可能有错误的地方，但愿可以被指出。但我但愿作到直觉，也就是说能把数学背后说的实质问题说出来。

II. 空间

首先说说空间(space) ，这个概念是现代数学的命根子之一，从拓扑空间开始，一步步往上加定义，能够造成不少空间。线形空间其实仍是比较初级的，若是在里面定义了范数，就成了赋范线性空间。赋范线性空间知足完备性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间中定义角度，就有了内积空间，内积空间再知足完备性，就获得希尔伯特空间。

总之，空间有不少种。你要是去看某种空间的数学定义，大体都是“存在一个集合，在这个集合上定义某某概念，而后知足某些性质”，就能够被称为空间。这未免有点奇怪，为何要用“空间”来称呼一些这样的集合呢？你们将会看到，其实这是颇有道理的。

咱们通常人最熟悉的空间，毫无疑问就是咱们生活在其中的（按照牛顿的绝对时空观）的三维空间，从数学上说，这是一个三维的欧几里德空间，咱们先无论那么多，先看看咱们熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特色。仔细想一想咱们就会知道，这个三维的空间：

• 1. 由不少（其实是无穷多个）位置点组成；
• 1. 这些点之间存在相对的关系；
• 1. 能够在空间中定义长度、角度；
• 1. 这个空间能够容纳运动，这里咱们所说的运动是从一个点到另外一个点的移动（变换），而不是微积分意义上的“连续”性的运动，

上面的这些性质中，最最关键的是第4条。第一、2条只能说是空间的基础，不算是空间特有的性质，凡是讨论数学问题，都得有一个集合，大多数还得在这个集合上定义一些结构（关系），并非说有了这些就算是空间。而第3条太特殊，其余的空间不须要具有，更不是关键的性质。只有第4条是空间的本质，也就是说，容纳运动是空间的本质特征。

认识到了这些，咱们就能够把咱们关于三维空间的认识扩展到其余的空间。事实上，无论是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动（变换）。你会发现，在某种空间中每每会存在一种相对应的变换，好比拓扑空间中有拓扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，其实这些变换都只不过是对应空间中容许的运动形式而已。

所以只要知道，“空间”是容纳运动的一个对象集合，而变换则规定了对应空间的运动。

下面咱们来看看线性空间。线性空间的定义任何一本书上都有，可是既然咱们认可线性空间是个空间，那么有两个最基本的问题必须首先获得解决，那就是：

1. 空间是一个对象集合，线性空间也是空间，因此也是一个对象集合。那么线性空间是什么样的对象的集合？或者说，线性空间中的对象有什么共同点吗？

2. 线性空间中的运动如何表述的？ 也就是，线性变换是如何表示的？

1. 线性空间是什么样的对象的集合？

咱们先来回答第一个问题，回答这个问题的时候实际上是不用拐弯抹角的，能够直截了当的给出答案。线性空间中的任何一个对象，经过选取基和坐标的办法，均可以表达为向量的形式。一般的向量空间我就不说了，举两个不那么平凡的例子：

L1. 最高次项不大于n次的多项式的全体构成一个线性空间，也就是说，这个线性空间中的每个对象是一个多项式。若是咱们以x0, x1, ..., xn为基，那么任何一个这样的多项式均可以表达为一组n+1维向量，其中的每个份量ai其实就是多项式中x(i-1)项的系数。值得说明的是，基的选取有多种办法，只要所选取的那一组基线性无关就能够。这要用到后面提到的概念了，因此这里先不说，提一下而已。

L2. 闭区间[a, b]上的n阶连续可微函数的全体，构成一个线性空间。也就是说，这个线性空间的每个对象是一个连续函数。对于其中任何一个连续函数，根据魏尔斯特拉斯定理，必定能够找到最高次项不大于n的多项式函数，使之与该连续函数的差为0，也就是说，彻底相等。这样就把问题归结为L1了。后面就不用再重复了。

因此说，向量是很厉害的，只要你找到合适的基，用向量能够表示线性空间里任何一个对象。这里头大有文章，由于向量表面上只是一列数，可是其实因为它的有序性，因此除了这些数自己携带的信息以外，还能够在每一个数的对应位置上携带信息。为何在程序设计中数组最简单，却又威力无穷呢？根本缘由就在于此。这是另外一个问题了，这里就不说了。

2. 线性空间中的运动如何表述的？

下面来回答第二个问题，这个问题的回答会涉及到线性代数的一个最根本的问题。

线性空间中的运动，被称为线性变换。也就是说，你从线性空间中的一个点运动到任意的另一个点，均可以经过一个线性变化来完成。那么，线性变换如何表示呢？颇有意思，在线性空间中，当你选定一组基以后，不只能够用一个向量来描述空间中的任何一个对象，并且能够用矩阵来描述该空间中的任何一个运动（变换）。而使某个对象发生对应运动的方法，就是用表明那个运动的矩阵，乘以表明那个对象的向量。

简而言之，在线性空间中选定基以后，向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动，用矩阵与向量的乘法施加运动。

是的，矩阵的本质是运动的描述。若是之后有人问你矩阵是什么，那么你就能够响亮地告诉他，矩阵的本质是运动的描述。

但是多么有意思啊，向量自己不是也能够当作是n x 1矩阵吗？这实在是很奇妙，一个空间中的对象和运动居然能够用相类同的方式表示。能说这是巧合吗？若是是巧合的话，那可真是幸运的巧合！能够说，线性代数中大多数奇妙的性质，均与这个巧合有直接的关系。

---

做者：myan
来源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/myan/article/details/647511

MARSGGBO♥原创




2018-12-19