【转载】理解矩阵（三）

首先来总结一下前面两部分的一些主要结论：

1. 首先有空间，空间能够容纳对象运动的。一种空间对应一类对象。
2. 有一种空间叫线性空间，线性空间是容纳向量对象运动的。
3. 运动是瞬时的，所以也被称为变换。
4. 矩阵是线性空间中运动（变换）的描述。
5. 矩阵与向量相乘，就是实施运动（变换）的过程。
6. 同一个变换，在不一样的坐标系下表现为不一样的矩阵，可是它们的本质是同样的，因此本征值相同。

下面让咱们把视力集中到一点以改变咱们以往看待矩阵的方式。咱们知道，线性空间里的基本对象是向量，而向量是这么表示的：

\[[a1, a2, a3, ..., an]\]

矩阵呢？矩阵是这么表示的：
\[ \begin{align} \left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right] \notag \end{align} \]

不用太聪明，咱们就能看出来，矩阵是一组向量组成的。特别的，n维线性空间里的方阵是由n个n维向量组成的。咱们在这里只讨论这个n阶的、非奇异的方阵，由于理解它就是理解矩阵的关键，它才是通常状况，而其余矩阵都是意外，都是不得不对付的讨厌情况，大能够放在一边。这里多一句嘴，学习东西要抓住主流，不要纠缠于旁支末节。很惋惜咱们的教材课本大多数都是把主线埋没在细节中的，搞得你们还没明白怎么回事就先被灌晕了。好比数学分析，明明最要紧的观念是说，一个对象能够表达为无穷多个合理选择的对象的线性和，这个概念是贯穿始终的，也是数学分析的精华。可是课本里自始至终不讲这句话，反正就是让你作吉米多维奇，掌握一大堆解偏题的技巧，记住各类特殊状况，两类间断点，怪异的可微和可积条件（谁还记得柯西条件、迪里赫莱条件...？），最后考试一过，一切忘光光。要我说，还不如反复强调这一个事情，把它深深入在脑子里，别的东西忘了就忘了，真碰到问题了，再查数学手册嘛，何须因小失大呢？

言归正传。若是一组向量是彼此线性无关的话，那么它们就能够成为度量这个线性空间的一组基，从而事实上成为一个坐标系体系，其中每个向量都躺在一根坐标轴上，而且成为那根坐标轴上的基本度量单位（长度1）。

如今到了关键的一步。看上去矩阵就是由一组向量组成的，并且若是矩阵非奇异的话（我说了，只考虑这种状况），那么组成这个矩阵的那一组向量也就是线性无关的了，也就能够成为度量线性空间的一个坐标系。结论：矩阵描述了一个坐标系。

“慢着！”，你嚷嚷起来了，“你这个骗子！你不是说过，矩阵就是运动吗？怎么这会矩阵又是坐标系了？”

嗯，因此我说到了关键的一步。我并无骗人，之因此矩阵又是运动，又是坐标系，那是由于——

“运动等价于坐标系变换”。

对不起，这话其实不许确，我只是想让你印象深入。准确的说法是：

“对象的变换等价于坐标系的变换”。

或者：

“固定坐标系下一个对象的变换等价于固定对象所处的坐标系变换。”

说白了就是：

“运动是相对的。”        

让咱们想一想，达成同一个变换的结果，好比把点(1, 1)变到点(2, 3)去，你能够有两种作法。第一，坐标系不动，点动，把(1, 1)点挪到(2, 3)去。第二，点不动，变坐标系，让x轴的度量（单位向量）变成原来的1/2，让y轴的度量（单位向量）变成原先的1/3，这样点仍是那个点，但是点的坐标就变成(2, 3)了。方式不一样，结果同样。

• 从第一个方式来看，那就是我在《理解矩阵》1/2中说的，把矩阵当作是运动描述，矩阵与向量相乘就是使向量（点）运动的过程。在这个方式下，
  \[Ma = b\]
  的意思是：“向量a通过矩阵M所描述的变换，变成了向量b。”

• 而从第二个方式来看，矩阵M描述了一个坐标系，姑且也称之为M。那么：
  \[Ma = b\]
  的意思是：“有一个向量，它在坐标系\(M\)的度量下获得的度量结果向量为a，那么它在坐标系\(I\)的度量下，这个向量的度量结果是b。” 这里的\(I\)是指单位矩阵，就是主对角线是1，其余为零的矩阵。

而这两个方式本质上是等价的。

我但愿你务必理解这一点，由于这是本篇的关键。

正由于是关键，因此我得再解释一下。

在M为坐标系的意义下，若是把M放在一个向量a的前面，造成\(Ma\)的样式，咱们能够认为这是对向量a的一个环境声明。它至关因而说：

“注意了！这里有一个向量，它在坐标系M中度量，获得的度量结果能够表达为a。但是它在别的坐标系里度量的话，就会获得不一样的结果。为了明确，我把M放在前面，让你明白，这是该向量在坐标系M中度量的结果。”

那么咱们再看孤零零的向量b：

b

多看几遍，你没看出来吗？它其实不是b，它是：

\(Ib\)

也就是说：“在单位坐标系，也就是咱们一般说的直角坐标系I中，有一个向量，度量的结果是b。”

而  \(Ma = Ib\)的意思就是说：

“在M坐标系里量出来的向量a，跟在I坐标系里量出来的向量b，其实根本就是一个向量啊！”

这哪里是什么乘法计算，根本就是身份识别嘛。

从这个意义上咱们从新理解一下向量。向量这个东西客观存在，可是要把它表示出来，就要把它放在一个坐标系中去度量它，而后把度量的结果（向量在各个坐标轴上的投影值）按必定顺序列在一块儿，就成了咱们平时所见的向量表示形式。你选择的坐标系（基）不一样，得出来的向量的表示就不一样。向量仍是那个向量，选择的坐标系不一样，其表示方式就不一样。所以，按道理来讲，每写出一个向量的表示，都应该声明一下这个表示是在哪一个坐标系中度量出来的。表示的方式，就是 Ma，也就是说，有一个向量，在M矩阵表示的坐标系中度量出来的结果为a。咱们平时说一个向量是\([2,\,3,\, 5,\, 7]^T\)，隐含着是说，这个向量在 \(I\) 坐标系中的度量结果是\([2,\, 3, \,5,\, 7]^T\)，所以，这个形式反而是一种简化了的特殊状况。

注意到，M矩阵表示出来的那个坐标系，由一组基组成，而那组基也是由向量组成的，一样存在这组向量是在哪一个坐标系下度量而成的问题。也就是说，表述一个矩阵的通常方法，也应该要指明其所处的基准坐标系。所谓M，实际上是 IM，也就是说，M中那组基的度量是在 I 坐标系中得出的。从这个视角来看，\(M×N\)也不是什么矩阵乘法了，而是声明了一个在M坐标系中量出的另外一个坐标系N，其中M自己是在\(I\)坐标系中度量出来的。

回过头来讲变换的问题。我刚才说，“固定坐标系下一个对象的变换等价于固定对象所处的坐标系变换”，那个“固定对象”咱们找到了，就是那个向量。可是坐标系的变换呢？我怎么没看见？

请看：

\[Ma = Ib\]

我如今要变M为I，怎么变？对了，再前面乘以个\(M^{-1}\)，也就是M的逆矩阵。换句话说，你不是有一个坐标系M吗，如今我让它乘以个\(M^{-1}\)，变成\(I\)，这样一来的话，原来M坐标系中的a在\(I\)中一量，就获得b了。

我建议你此时此刻拿起纸笔，画画图，求得对这件事情的理解。好比，你画一个坐标系，x轴上的衡量单位是2，y轴上的衡量单位是3，在这样一个坐标系里，坐标为(1，1)的那一点，实际上就是笛卡尔坐标系里的点(2, 3)。而让它原形毕露的办法，就是把原来那个坐标系:

2 0
0 3

的x方向度量缩小为原来的1/2，而y方向度量缩小为原来的1/3，这样一来坐标系就变成单位坐标系I了。保持点不变，那个向量如今就变成了(2, 3)了。

怎么可以让“x方向度量缩小为原来的1/2，而y方向度量缩小为原来的1/3”呢？就是让原坐标系：

2 0
0 3

被矩阵：

1/2   0
0   1/3

左乘。而这个矩阵就是原矩阵的逆矩阵。

下面咱们得出一个重要的结论：

“对坐标系施加变换的方法，就是让表示那个坐标系的矩阵与表示那个变化的矩阵相乘。”

再一次的，矩阵的乘法变成了运动的施加。只不过，被施加运动的再也不是向量，而是另外一个坐标系。

若是你以为你还搞得清楚，请再想一下刚才已经提到的结论，矩阵MxN，一方面代表坐标系N在运动M下的变换结果，另外一方面，把M当成N的前缀，当成N的环境描述，那么就是说，在M坐标系度量下，有另外一个坐标系N。这个坐标系N若是放在I坐标系中度量，其结果为坐标系MxN。

在这里，我实际上已经回答了通常人在学习线性代数是最困惑的一个问题，那就是为何矩阵的乘法要规定成这样。简单地说，是由于：

1. 从变换的观点看，对坐标系N施加M变换，就是把组成坐标系N的每个向量施加M变换。

2. 从坐标系的观点看，在M坐标系中表现为N的另外一个坐标系，这也归结为，对N坐标系基的每个向量，把它在I坐标系中的坐标找出来，而后汇成一个新的矩阵。

3. 至于矩阵乘以向量为何要那样规定，那是由于一个在M中度量为a的向量，若是想要恢复在I中的真像，就必须分别与M中的每个向量进行內积运算。我把这个结论的推导留给感兴趣的朋友吧。应该说，其实到了这一步，已经很容易了。

综合以上1/2/3，矩阵的乘法就得那么规定，一切有根有据，毫不是哪一个神经病胡思乱想出来的。

我已经没法说得更多了。矩阵又是坐标系，又是变换。究竟是坐标系，仍是变换，已经说不清楚了，运动与实体在这里统一了，物质与意识的界限已经消失了，一切归于没法言说，没法定义了。道可道，很是道，名可名，很是名。矩阵是在是不可道之道，不可名之名的东西。到了这个时候，咱们不得不认可，咱们伟大的线性代数课本上说的矩阵定义，是无比正确的：

“矩阵就是由m行n列数放在一块儿组成的数学对象。”

好了，这基本上就是我想说的所有了。还留下一个行列式的问题。矩阵M的行列式其实是组成M的各个向量按照平行四边形法则搭成一个n维立方体的体积。对于这一点，我只能感叹于其精妙，却没法揭开其中奥秘了。也许我掌握的数学工具不够，我但愿有人可以给咱们你们讲解其中的道理了。

我不知道是否讲得足够清楚了，反正这一部分须要您花些功夫去推敲。

此外，请你们没必要等待这个系列的后续部分。以个人工做状况而言，近期内很难保证继续投入脑力到这个领域中，尽管我仍然对此兴致浓厚。不过若是还有（四）的话，多是一些站在应用层面的考虑，好比对计算机图形学相关算法的理解。可是我不承诺这些讨论近期内会出现了。

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最后的最后，很是感谢原做者分享本身对于矩阵的理解，我想说这对不少人来讲都受益不浅，书本上冰冷的知识堆砌一直让我摸不着头脑，为何要这么定义？这么求出来为何就是特征值或者特征矩阵了呢？读了这些系列文章后有种醍醐灌顶的感受，再次表示感谢！

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做者：myan
来源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/myan/article/details/1865397

MARSGGBO♥原创




2018-12-19