【数据结构】数据结构中经常使用的树

一、树的定义

首先给出树的相关定义：树（tree）是包含n（n>0）个结点的有穷集，其中：

• 1）每一个元素称为结点（node）；
• 2）有一个特定的结点被称为根结点或树根（root）；
• 3）除根结点以外的其他数据元素被分为m（m≥0）个互不相交的集合T1，T2，……Tm-1，其中每个集合Ti（1<=i<=m）自己也是一棵树，被称做原树的子树。

二、树的相关术语

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；
• 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；
• 非终端节点或分支节点：度不为0的节点；
• 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；
• 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；
• 兄弟节点：具备相同父节点的节点互称为兄弟节点；
• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；
• 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
• 树的高度或深度：树中节点的最大层次；
• 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；
• 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的全部节点；
• 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
• 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；

三、二叉树

二叉树的定义：

• 二叉树的每一个结点至多只有二棵子树(不存在度大于2的结点)，
• 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。
• 二叉树的第i层至多有2i-1个结点；深度为k的二叉树至多有2k-1个结点；
• 对任何一棵二叉树T，若是其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。

3.1 要点

遍历：先序遍历，中序遍历，后序遍历。 非递归算法：用栈。 深度遍历算法：链表。

四、满二叉树

一棵深度为k且有2k-1（2的k次幂减1）个结点的二叉树称为满二叉树。

五、彻底二叉树

深度为k的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时，称之为彻底二叉树。

六、二叉排序树

二叉查找树定义：又称为是二叉排序树（Binary Sort Tree）或二叉搜索树。二叉排序树或者是一棵空树，或者是具备下列性质的二叉树：

• 1. 若它的左子树不空，则左子树上全部结点的值均小于它的根结点的值；
• 2. 若它的右子树不空，则右子树上全部结点的值均大于或等于它的根结点的值；
• 3. 它的左、右子树也分别为二叉排序树。

七、平衡二叉树

平衡二叉树（Balanced Binary Tree）又被称为AVL树。它或者是一棵空树，或者是具备下列性质的二叉树：它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左子树和右子树的深度之差的绝对值不超过1。（注：平衡二叉树应该是一棵二叉排序树）

注意点

平衡二叉树的调整

八、B树

B树又称为B-树，是一种平衡的多路查找树。B-树的阶是全部结点的孩子结点树的最大值。一棵m阶B-树，或为空树，或为知足下列特性的m叉树：

• 1）树中每一个结点至多有m棵子树；
• 2）若根节点不是叶子节点，则至少有两棵子树；
• 3）除根以外的全部非终端结点至少有[m/2]（）向上取整）棵子树；
• 4）全部的非终端结点中包含下列信息数据：（n，A0，K1，A1，K2，A2，…，Kn，An），其中，n为结点中的关键字树，A为指向子树根结点的指针，K为关键字，且Ai-1所指子树中全部结点的关键字均小于Ki，An所指子树中全部结点的关键字均大于Kn；
• 5）全部的叶子结点都出如今同一层次上，而且不带信息（能够看做是外部结点或查找失败的结点，实际上这些结点不存在，指向这些结点的指针为空）。下图为一棵4阶B-树：

九、B+树

B+树是应文件系统所需而出的一种B-树的变型树。一棵m阶B+树和m阶的B-树的差别在于：

• 1）有n棵子树的结点中含有n个关键字，每一个关键字不保存数据，只用来索引，全部数据都保存在叶子节点；
• 2）全部的叶子结点中包含了所有关键字的信息，及指向含这些关键字记录的指针，且叶子结点自己依关键字的大小自小而大顺序连接；

十、红黑树

一棵红黑树是知足下面性质的二叉搜索树：

• 1）每一个结点或是红色的，或是黑色的；
• 2）根结点是黑色的；
• 3）每一个叶结点（叶结点即指树尾端NIL指针或NULL结点）是黑的；
• 4）若是一个结点是红色的，则它的两个子结点都是黑色的；
• 5）对每一个结点，从该结点到其全部后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点。

十一、键树

十二、字典树

1三、后缀树

1四、区间树与线段树

1五、败者树与胜者树

连接

数据结构中各类树