奇异值分解(SVD)原理与在降维中的应用

奇异值分解(SVD)原理与在降维中的应用

转载自刘建平Pinard随笔
看了好多关于SVD的介绍，感觉这篇解释的非常通俗，就转载了。。。。。
奇异值分解(Singular Value Decomposition，以下简称SVD)是在机器学习领域广泛应用的算法，它不光可以用于降维算法中的特征分解，还可以用于推荐系统，以及自然语言处理等领域。是很多机器学习算法的基石。本文就对SVD的原理做一个总结，并讨论在在PCA降维算法中是如何运用运用SVD的。

1. 回顾特征值和特征向量

我们首先回顾下特征值和特征向量的定义如下：

Ax=λx $$Ax=\lambda x$$

其中A是一个 n×n $n\times n$的矩阵， x $x$是一个 n $n$维向量，则我们说 λ $\lambda$是矩阵 A $A$的一个特征值，而 x $x$是矩阵 A $A$的特征值 λ $\lambda$所对应的特征向量。

求出特征值和特征向量有什么好处呢？ 就是我们可以将矩阵A特征分解。如果我们求出了矩阵 A $A$的 n $n$个特征值 λ1≤λ2≤...≤λn ${\lambda }_1\le {\lambda }_2\le ...\le {\lambda }_n$,以及这n个特征值所对应的特征向量 {w1,w2,...wn} $\{w_1,w_2,...w_n\}$，那么矩阵A就可以用下式的特征分解表示：

A=WΣW−1 $$A=W\mathrm{\Sigma }{W}^{-1}$$

其中 W $W$是这 n $n$个特征向量所张成的 n×n $n\times n$维矩阵，而 Σ $\Sigma$为这 n $n$个特征值为主对角线的 n×n $n\times n$维矩阵。

　　　　一般我们会把 W $W$的这 n $n$个特征向量标准化，即满足 ||wi||2=1 $||w_i|{|}_2=1$, 或者说 wTiwi=1 $w_i^T{w}_i=1$，此时W的n个特征向量为标准正交基，满足 WTW=I $W^{T}W=I$，即 WT=W−1 $W^T=W^{-1}$, 也就是说 W $W$为酉矩阵。

　　　　这样我们的特征分解表达式可以写成

A=WΣWT $$A=W\mathrm{\Sigma }{W}^T$$

　　　　注意到要进行特征分解，矩阵A必须为方阵。那么如果A不是方阵，即行和列不相同时，我们还可以对矩阵进行分解吗？答案是可以，此时我们的SVD登场了。

2. SVD的定义

　　　　SVD也是对矩阵进行分解，但是和特征分解不同，SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。假设我们的矩阵A是一个 m×n $m\times n$的矩阵，那么我们定义矩阵A的SVD为：

A=UΣVT $$A=U\mathrm{\Sigma }{V}^T$$

　　　　其中 U $U$是一个 m×m $m\times m$的矩阵， Σ $\Sigma$是一个 m×n $m\times n$的矩阵，除了主对角线上的元素以外全为0，主对角线上的每个元素都称为奇异值， V $V$是一个 n×n $n\times n$的矩阵。 U $U$和 V $V$都是酉矩阵，即满足 UTU=I $U^{T}U=I$, VTV=I $V^{T}V=I$。下图可以很形象的看出上面SVD的定义：

　　　　那么我们如何求出SVD分解后的 U $U$, Σ $\Sigma$, V $V$这三个矩阵呢？

　　　　如果我们将 A $A$的转置和 A $A$做矩阵乘法，那么会得到 n×n $n\times n$的一个方阵 ATA $A^{T}A$。既然 ATA $A^{T}A$是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：

(ATA)vi=λivi $$(A^{T}A)v_i={\lambda }_i{v}_i$$

　　　　这样我们就可以得到矩阵 ATA $A^{T}A$的 n $n$个特征值和对应的 n $n$个特征向量 v $v$了。将 ATA $A^{T}A$的所有特征向量张成一个 n×n $n\times n$的矩阵 V $V$，就是我们SVD公式里面的 V $V$矩阵了。一般我们将 V $V$中的每个特征向量叫做 A $A$的右奇异向量。

　　　　如果我们将 A $A$和 A $A$的转置做矩阵乘法，那么会得到 m×m $m\times m$的一个方阵 AAT $A{A}^T$。既然 AAT $A{A}^T$是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：

(AAT)ui=λiui $$(A{A}^T)u_i={\lambda }_i{u}_i$$

　　　　这样我们就可以得到矩阵 AAT $A{A}^T$的 m $m$个特征值和对应的 m $m$个特征向量 u $u$了。将 AAT $A{A}^T$的所有特征向量张成一个 m×m $m\times m$的矩阵 U $U$，就是我们SVD公式里面的 U $U$矩阵了。一般我们将 U $U$中的每个特征向量叫做 A $A$的左奇异向量。

　　　　 U $U$和 V $V$我们都求出来了，现在就剩下奇异值矩阵 Σ $\Sigma$没有求出了。由于 Σ $\Sigma$除了对角线上是奇异值其他位置都是0，那我们只需要求出每个奇异值 σ $\sigma$就可以了。

　　　　我们注意到:

A=UΣVT⇒AV=UΣVTV⇒AV=UΣ⇒Avi=σiui⇒σi=Avi/ui $$A=U\mathrm{\Sigma }{V}^T\Rightarrow AV=U\mathrm{\Sigma }{V}^{T}V\Rightarrow AV=U\mathrm{\Sigma }\Rightarrow A{v}_i={\sigma }_i{u}_i\Rightarrow {\sigma }_i=A{v}_i/u_i$$

　　　 这样我们可以求出我们的每个奇异值，进而求出奇异值矩阵ΣΣ。

　　　 上面还有一个问题没有讲，就是我们说 ATA $A^{T}A$的特征向量组成的就是我们SVD中的 V $V$矩阵，而 AAT $A{A}^T$特征向量组成的就是我们SVD中的 U $U$矩阵，这有什么根据吗？这个其实很容易证明，我们以 V $V$矩阵的证明为例。

A=UΣVT⇒AT=VΣUT⇒ATA=VΣUTUΣVT=VΣ2VT $$A=U\mathrm{\Sigma }{V}^T\Rightarrow A^T=V\mathrm{\Sigma }{U}^T\Rightarrow A^{T}A=V\mathrm{\Sigma }{U}^{T}U\mathrm{\Sigma }{V}^T=V{\mathrm{\Sigma }}^2{V}^T$$

　　　　上式证明使用了: UTU=I $U^{T}U=I$, ΣT=Σ ${\mathrm{\Sigma }}^T=\mathrm{\Sigma }$。可以看出 ATA $A^{T}A$的特征向量组成的的确就是我们SVD中的V矩阵。类似的方法可以得到 AAT $A{A}^T$的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵。

　　　　进一步我们还可以看出我们的特征值矩阵等于奇异值矩阵的平方，也就是说特征值和奇异值满足如下关系：

σi=λi−−√ $${\sigma }_i=\sqrt{{\lambda }_i}$$

　　　　这样也就是说，我们可以不用 σi=Avi/ui ${\sigma }_i=A{v}_i/u_i$来计算奇异值，也可以通过求出 ATA $A^{T}A$的特征值取平方根来求奇异值。

3. SVD计算举例

　　　　这里我们用一个简单的例子来说明矩阵是如何进行奇异值分解的。我们的矩阵A定义为：

A=⎛⎝⎜011110⎞⎠⎟ $$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$

　　　　我们首先求出 ATA $A^{T}A$和 AAT $A{A}^T$

ATA=(011110)⎛⎝⎜011110⎞⎠⎟=(2112)AAT=⎛⎝⎜011110⎞⎠⎟(011110)=⎛⎝⎜110121011⎞⎠⎟ $$\begin{gathered} {\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right) \\ \mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 2& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right) \end{gathered}$$

　　　　进而求出 ATA $A^{T}A$的特征值和特征向量：

λ1=3;v1=(1/2–√1/2–√);λ2=1;v2=(−1/2–√1/2–√) $${\lambda }_1=3;v_1=\left(\begin{array}{c}1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2}\end{array}\right);{\lambda }_2=1;v_2=\left(\begin{array}{c}-1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2}\end{array}\right)$$

　　　　接着求 AAT $A{A}^T$的特征值和特征向量：

λ1=3;u1=⎛⎝⎜1/6–√2/6–√1/6–√⎞⎠⎟;λ2=1;u2=⎛⎝⎜1/2–√0−1/2–√⎞⎠⎟;λ3=0;u3=⎛⎝⎜1/3–√−1/3–√1/3–√⎞⎠⎟ $${\lambda }_1=3;u_1=\left(\begin{array}{c}1/\sqrt{6}\\ 2/\sqrt{6}\\ 1/\sqrt{6}\end{array}\right);{\lambda }_2=1;u_2=\left(\begin{array}{c}1/\sqrt{2}\\ 0\\ -1/\sqrt{2}\end{array}\right);{\lambda }_3=0;u_3=\left(\begin{array}{c}1/\sqrt{3}\\ -1/\sqrt{3}\\ 1/\sqrt{3}\end{array}\right)$$

　　　　利用 Avi=σiui,i=1,2 $A{v}_i={\sigma }_i{u}_i,i=1,2$求奇异值：

⎛⎝⎜011110⎞⎠⎟(1/2–√1/2–√)=σ1⎛⎝⎜1/6–√2/6–√1/6–√⎞⎠⎟⇒σ1=3–√⎛⎝⎜011110⎞⎠⎟(−1/2–√1/2–√)=σ2⎛⎝⎜1/2–√0−1/2–√⎞⎠⎟⇒σ2=1 $$\begin{gathered} \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2}\end{array}\right)={\sigma }_1\left(\begin{array}{c}1/\sqrt{6}\\ 2/\sqrt{6}\\ 1/\sqrt{6}\end{array}\right)\Rightarrow {\sigma }_1=\sqrt{3} \\ \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2}\end{array}\right)={\sigma }_2\left(\begin{array}{c}1/\sqrt{2}\\ 0\\ -1/\sqrt{2}\end{array}\right)\Rightarrow {\sigma }_2=1 \end{gathered}$$

当然，我们也可以用 σi=λi−−√ ${\sigma }_i=\sqrt{{\lambda }_i}$直接求出奇异值为 3–√ $\sqrt{3}$和1.

最终得到 A $A$的奇异值分解为：

A=UΣVT=⎛⎝⎜1/6–√2/6–√1/6–√1/2–√0−1/2–√1/3–√−1/3–√1/3–√⎞⎠⎟⎛⎝⎜3–√00010⎞⎠⎟(1/2–√−1/2–√1/2–√1/2–√) $$A=U\mathrm{\Sigma }{V}^T=\left(\begin{array}{ccc}1/\sqrt{6}& 1/\sqrt{2}& 1/\sqrt{3}\\ 2/\sqrt{6}& 0& -1/\sqrt{3}\\ 1/\sqrt{6}& -1/\sqrt{2}& 1/\sqrt{3}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\sqrt{3}& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1/\sqrt{2}& 1/\sqrt{2}\\ -1/\sqrt{2}& 1/\sqrt{2}\end{array}\right)$$

4. SVD的一些性质　

　　　　上面几节我们对SVD的定义和计算做了详细的描述，似乎看不出我们费这么大的力气做SVD有什么好处。那么SVD有什么重要的性质值得我们注意呢？

　　　　对于奇异值,它跟我们特征分解中的特征值类似，在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列，而且奇异值的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上的比例。也就是说，我们也可以用最大的k个的奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵。也就是说：

Am×n=Um×mΣm×nVTn×n≈Um×kΣk×kVTk×n $$A_{m\times n}=U_{m\times m}{\mathrm{\Sigma }}_{m\times n}{V}_{n\times n}^T\approx U_{m\times k}{\mathrm{\Sigma }}_{k\times k}{V}_{k\times n}^T$$

　　　　其中 k $k$要比 n $n$小很多，也就是一个大的矩阵 A $A$可以用三个小的矩阵 Um×k,Σk×k,VTk×n $U_{m\times k},{\mathrm{\Sigma }}_{k\times k},V_{k\times n}^T$来表示。如下图所示，现在我们的矩阵A只需要灰色的部分的三个小矩阵就可以近似描述了。

　　　　由于这个重要的性质，SVD可以用于PCA降维，来做数据压缩和去噪。也可以用于推荐算法，将用户和喜好对应的矩阵做特征分解，进而得到隐含的用户需求来做推荐。同时也可以用于NLP中的算法，比如潜在语义索引（LSI）。下面我们就对SVD用于PCA降维做一个介绍。

5. SVD用于PCA

　　　　利用PCA降维，需要找到样本协方差矩阵 XTX $X^{T}X$的最大的d个特征向量，然后用这最大的d个特征向量张成的矩阵来做低维投影降维。可以看出，在这个过程中需要先求出协方差矩阵 XTX $X^{T}X$，当样本数多样本特征数也多的时候，这个计算量是很大的。

　　　　注意到我们的SVD也可以得到协方差矩阵 XTX $X^{T}X$最大的d个特征向量张成的矩阵，但是SVD有个好处，有一些SVD的实现算法可以不求先求出协方差矩阵 XTX $X^{T}X$，也能求出我们的右奇异矩阵 V $V$。也就是说，我们的PCA算法可以不用做特征分解，而是做SVD来完成。这个方法在样本量很大的时候很有效。实际上，scikit-learn的PCA算法的背后真正的实现就是用的SVD，而不是我们我们认为的暴力特征分解。

　　　　另一方面，注意到PCA仅仅使用了我们SVD的右奇异矩阵，没有使用左奇异矩阵，那么左奇异矩阵有什么用呢？

　　　　假设我们的样本是 m×n $m\times n$的矩阵 X $X$，如果我们通过SVD找到了矩阵 XXT $X{X}^T$最大的d个特征向量张成的 m×d $m\times d$维矩阵U，则我们如果进行如下处理：

X′d×n=UTd×mXm×n $$X_{d\times n}^{\prime }=U_{d\times m}^T{X}_{m\times n}$$

　　　　可以得到一个 d×n $d\times n$的矩阵 X′ $X^{\prime }$,这个矩阵和我们原来的 m×n $m\times n$维样本矩阵X相比，行数从 m $m$减到了 k $k$，可见对行数进行了压缩。也就是说，左奇异矩阵可以用于行数的压缩。相对的，右奇异矩阵可以用于列数即特征维度的压缩，也就是我们的PCA降维。　　　　

6. SVD小结　

　　　　SVD作为一个很基本的算法，在很多机器学习算法中都有它的身影，特别是在现在的大数据时代，由于SVD可以实现并行化，因此更是大展身手。SVD的原理不难，只要有基本的线性代数知识就可以理解，实现也很简单因此值得仔细的研究。当然，SVD的缺点是分解出的矩阵解释性往往不强，有点黑盒子的味道，不过这不影响它的使用。