随机乱置算法详解

我知道你们会各类花式排序算法，可是若是叫你打乱一个数组，你是否能作到成竹在胸？即使你拍脑壳想出一个算法，怎么证实你的算法就是正确的呢？乱序算法不像排序算法，结果惟一能够很容易检验，由于「乱」能够有不少种，你怎么能证实你的算法是「真的乱」呢？

因此咱们面临两个问题：

1. 什么叫作「真的乱」？
2. 设计怎样的算法来打乱数组才能作到「真的乱」？

这种算法称为「随机乱置算法」或者「洗牌算法」。

本文分两部分，第一部分详解最经常使用的洗牌算法。由于该算法的细节容易出错，且存在好几种变体，虽有细微差别但都是正确的，因此本文要介绍一种简单的通用思想保证你写出正确的洗牌算法。第二部分讲解使用「蒙特卡罗方法」来检验咱们的打乱结果是否是真的乱。蒙特卡罗方法的思想不难，可是实现方式也各有特色的。

PS：我认真写了 100 多篇原创，手把手刷 200 道力扣题目，所有发布在 labuladong的算法小抄，持续更新。建议收藏，按照个人文章顺序刷题，掌握各类算法套路后投再入题海就如鱼得水了。

1、洗牌算法

此类算法都是靠随机选取元素交换来获取随机性，直接看代码（伪码），该算法有 4 种形式，都是正确的：

// 获得一个在闭区间 [min, max] 内的随机整数
int randInt(int min, int max);

// 第一种写法
void shuffle(int[] arr) {
    int n = arr.length();
    /******** 区别只有这两行 ********/
    for (int i = 0 ; i < n; i++) {
        // 从 i 到最后随机选一个元素
        int rand = randInt(i, n - 1);
        /*************************/
        swap(arr[i], arr[rand]);
    }
}

// 第二种写法
    for (int i = 0 ; i < n - 1; i++)
        int rand = randInt(i, n - 1);

// 第三种写法
    for (int i = n - 1 ; i >= 0; i--)
        int rand = randInt(0, i);

// 第四种写法
    for (int i = n - 1 ; i > 0; i--)
        int rand = randInt(0, i);

分析洗牌算法正确性的准则：产生的结果必须有 n! 种可能，不然就是错误的。这个很好解释，由于一个长度为 n 的数组的全排列就有 n! 种，也就是说打乱结果总共有 n! 种。算法必须可以反映这个事实，才是正确的。

咱们先用这个准则分析一下第一种写法的正确性：

// 假设传入这样一个 arr
int[] arr = {1,3,5,7,9};

void shuffle(int[] arr) {
    int n = arr.length(); // 5
    for (int i = 0 ; i < n; i++) {
        int rand = randInt(i, n - 1);
        swap(arr[i], arr[rand]);
    }
}

for 循环第一轮迭代时，i = 0，rand 的取值范围是 [0, 4]，有 5 个可能的取值。

for 循环第二轮迭代时，i = 1，rand 的取值范围是 [1, 4]，有 4 个可能的取值。

后面以此类推，直到最后一次迭代，i = 4，rand 的取值范围是 [4, 4]，只有 1 个可能的取值。

能够看到，整个过程产生的全部可能结果有 n! = 5! = 5*4*3*2*1 种，因此这个算法是正确的。

分析第二种写法，前面的迭代都是同样的，少了一次迭代而已。因此最后一次迭代时 i = 3，rand 的取值范围是 [3, 4]，有 2 个可能的取值。

// 第二种写法
// arr = {1,3,5,7,9}, n = 5
    for (int i = 0 ; i < n - 1; i++)
        int rand = randInt(i, n - 1);

因此整个过程产生的全部可能结果仍然有 5*4*3*2 = 5! = n! 种，由于乘以 1 无关紧要嘛。因此这种写法也是正确的。

若是以上内容你都能理解，那么你就能发现第三种写法就是第一种写法，只是将数组从后往前迭代而已；第四种写法是第二种写法从后往前来。因此它们都是正确的。

若是读者思考过洗牌算法，可能会想出以下的算法，可是这种写法是错误的：

void shuffle(int[] arr) {
    int n = arr.length();
    for (int i = 0 ; i < n; i++) {
        // 每次都从闭区间 [0, n-1]
        // 中随机选取元素进行交换
        int rand = randInt(0, n - 1);
        swap(arr[i], arr[rand]);
    }
}

如今你应该明白这种写法为何会错误了。由于这种写法获得的全部可能结果有 n^n 种，而不是 n! 种，并且 n^n 不多是 n! 的整数倍。

好比说 arr = {1,2,3}，正确的结果应该有 3!= 6 种可能，而这种写法总共有 3^3 = 27 种可能结果。由于 27 不能被 6 整除，因此必定有某些状况被「偏袒」了，也就是说某些状况出现的几率会大一些，因此这种打乱结果不算「真的乱」。

上面咱们从直觉上简单解释了洗牌算法正确的准则，没有数学证实，我想你们也懒得证实。对于几率问题咱们可使用「蒙特卡罗方法」进行简单验证。

2、蒙特卡罗方法验证正确性

洗牌算法，或者说随机乱置算法的正确性衡量标准是：对于每种可能的结果出现的几率必须相等，也就是说要足够随机。

若是不用数学严格证实几率相等，能够用蒙特卡罗方法近似地估计出几率是否相等，结果是否足够随机。

记得高中有道数学题：往一个正方形里面随机打点，这个正方形里紧贴着一个圆，告诉你打点的总数和落在圆里的点的数量，让你计算圆周率。

这其实就是利用了蒙特卡罗方法：当打的点足够多的时候，点的数量就能够近似表明图形的面积。经过面积公式，由正方形和圆的面积比值是能够很容易推出圆周率的。固然打的点越多，算出的圆周率越准确，充分体现了大力出奇迹的真理。

相似的，咱们能够对同一个数组进行一百万次洗牌，统计各类结果出现的次数，把频率做为几率，能够很容易看出洗牌算法是否正确。总体思想很简单，不过实现起来也有些技巧的，下面简单分析几种实现思路。

第一种思路，咱们把数组 arr 的全部排列组合都列举出来，作成一个直方图（假设 arr = {1,2,3}）：

每次进行洗牌算法后，就把获得的打乱结果对应的频数加一，重复进行 100 万次，若是每种结果出现的总次数差很少，那就说明每种结果出现的几率应该是相等的。写一下这个思路的伪代码：

void shuffle(int[] arr);

// 蒙特卡罗
int N = 1000000;
HashMap count; // 做为直方图
for (i = 0; i < N; i++) {
    int[] arr = {1,2,3};
    shuffle(arr);
    // 此时 arr 已被打乱
    count[arr] += 1；
}
for (int feq : count.values()) 
    print(feq / N + " "); // 频率

这种检验方案是可行的，不过可能有读者会问，arr 的所有排列有 n! 种（n 为 arr 的长度），若是 n 比较大，那岂不是空间复杂度爆炸了？

是的，不过做为一种验证方法，咱们不须要 n 太大，通常用长度为 5 或 6 的 arr 试下就差很少了吧，由于咱们只想比较几率验证一下正确性而已。

PS：我认真写了 100 多篇原创，手把手刷 200 道力扣题目，所有发布在 labuladong的算法小抄，持续更新。建议收藏，按照个人文章顺序刷题，掌握各类算法套路后投再入题海就如鱼得水了。

第二种思路，能够这样想，arr 数组中全都是 0，只有一个 1。咱们对 arr 进行 100 万次打乱，记录每一个索引位置出现 1 的次数，若是每一个索引出现的次数差很少，也能够说明每种打乱结果的几率是相等的。

void shuffle(int[] arr);

// 蒙特卡罗方法
int N = 1000000;    
int[] arr = {1,0,0,0,0};
int[] count = new int[arr.length];
for (int i = 0; i < N; i++) {
    shuffle(arr); // 打乱 arr
    for (int j = 0; j < arr.length; j++) 
        if (arr[j] == 1) {
            count[j]++;
            break;
        }
}
for (int feq : count) 
    print(feq / N + " "); // 频率

这种思路也是可行的，并且避免了阶乘级的空间复杂度，可是多了嵌套 for 循环，时间复杂度高一点。不过因为咱们的测试数据量不会有多大，这些问题均可以忽略。

另外，细心的读者可能发现一个问题，上述两种思路声明 arr 的位置不一样，一个在 for 循环里，一个在 for 循环以外。其实效果都是同样的，由于咱们的算法总要打乱 arr，因此 arr 的顺序并不重要，只要元素不变就行。

3、最后总结

本文第一部分介绍了洗牌算法（随机乱置算法），经过一个简单的分析技巧证实了该算法的四种正确形式，而且分析了一种常见的错误写法，相信你必定可以写出正确的洗牌算法了。

第二部分写了洗牌算法正确性的衡量标准，即每种随机结果出现的几率必须相等。若是咱们不用严格的数学证实，能够经过蒙特卡罗方法大力出奇迹，粗略验证算法的正确性。蒙特卡罗方法也有不一样的思路，不过要求没必要太严格，由于咱们只是寻求一个简单的验证。