转：海明纠错码

海明码（Hamming Code）是一个能够有多个校验位，具备检测并纠正一位错误代码的纠错码，因此它也仅用于信道特性比较好的环境中，如以太局域网中，由于若是信道特性很差的状况下，出现的错误一般不是一位。

    海明码的检错、纠错基本思想是将有效信息按某种规律分红若干组，每组安排一个校验位进行奇偶性测试，而后产生多位检测信息，并从中得出具体的出错位置，最后经过对错误位取反（也是原来是1就变成0，原来是0就变成1）来将其纠正。

    要采用海明码纠错，须要按如下步骤来进行：计算校验位数→肯定校验码位置→肯定校验码→实现校验和纠错。下面来具体介绍这几个步骤。本文先介绍除最后一个步骤的其它几个步骤。

1.    计算校验位数

    要使用海明码纠错，首先就要肯定发送的数据所须要要的校验码（也就是“海明码”）位数（也称“校验码长度”）。它是这样的规定的：假设用N表示添加了校验码位后整个信息的二进制位数，用K表明其中有效信息位数，r表示添加的校验码位，它们之间的关系应知足：N=K＋r≤2^r－1。

    如K=5，则要求2^r-r≥5+1=6，根据计算能够得知r的最小值为4，也就是要校验5位信息码，则要插入4位校验码。若是信息码是8位，则要求2^r-r≥8+1=9，根据计算能够得知r的最小值也为4。根据经验总结，得出信息码和校验码位数之间的关系如表5-1所示。

表5-1   信息码位数与校验码位数之间的关系

信息码位数	1	2~4	5~11	12~26	27~57	58~120	121~247
校验码位数	2	3	4	5	6	7	8

2．肯定校验码位置

    上一步咱们肯定了对应信息中要插入的校验码位数，但这还不够，由于这些校验码不是直接附加在信息码的前面、后面或中间的，而是分开插入到不一样的位置。但不用担忧，校验码的位置很容易肯定的，那就是校验码必须是在2ⁿ次方位置，如第一、二、四、八、1六、32，……位（对应2⁰、2¹、2²、2³、2⁴、2⁵，……，是从最左边的位数起的），这样一来就知道了信息码的分布位置，也就是非2ⁿ次方位置，如第三、五、六、七、九、十、十一、十二、13，……位（是从最左边的位数起的）。

    举一个例子，假设现有一个8位信息码，即b一、b二、b三、b四、b五、b六、b七、b8，由表5-1得知，它须要插入4位校验码，即p一、p二、p三、p4，也就是整个通过编码后的数据码（称之为“码字”）共有12位。根据以上介绍的校验码位置分布规则能够得出，这12位编码后的数据就是p一、p二、b一、p三、b二、b三、b四、p四、b五、b六、b七、b8。

    现假设原来的8位信息码为10011101，因如今尚未求出各位校验码值，如今这些校验码位都用“？”表示，最终的码字为：？？1？001？1101。

3.    肯定校验码

通过前面的两步，咱们已经肯定了所需的校验码位数和这些校验码的插入位置，但这还不够，还得肯定各个校验码值。这些校验码的值不是随意的，每一个校验位的值表明了代码字中部分数据位的奇偶性（最终要根据是采用奇校验，仍是偶校验来肯定），其所在位置决定了要校验的比特位序列。总的原则是：第i位校验码从当前位开始，每次连续校验i（这里是数值i，不是第i位，下同）位后再跳过i位，而后再连续校验i位，再跳过i位，以此类推。最后根据所采用的是奇校验，仍是偶校验便可得出第i位校验码的值。

    1）计算方法

    校验码的具体计算方法以下：

    p1（第1个校验位，也是整个码字的第1位）的校验规则是：从当前位数起，校验1位，而后跳过1位，再校验1位，再跳过1位，……。这样就可得出p1校验码位能够校验的码字位包括：第1位（也就是p1自己）、第3位、第5位、第7位、第9位、第11位、第13位、第15位，……。而后根据所采用的是奇校验，仍是偶校验，最终能够肯定该校验位的值。

    p2（第2个校验位，也是整个码字的第2位）的校验规则是：从当前位数起，连续校验2位，而后跳过2位，再连续校验2位，再跳过2位，……。这样就可得出p2校验码位能够校验的码字位包括：第2位（也就是p2自己）、第3位，第6位、第7位，第10位、第11位，第14位、第15位，……。一样根据所采用的是奇校验，仍是偶校验，最终能够肯定该校验位的值。

    p3（第3个校验位，也是整个码字的第4位）的校验规则是：从当前位数起，连续校验4位，而后跳过4位，再连续校验4位，再跳过4位，……。这样就可得出p4校验码位能够校验的码字位包括：第4位（也就是p4自己）、第5位、第6位、第7位，第12位、第13位、第14位、第15位，第20位、第21位、第22位、第23位，……。一样根据所采用的是奇校验，仍是偶校验，最终能够肯定该校验位的值。

    p4（第4个校验位，也是整个码字的第8位）的校验规则是：从当前位数起，连续校验8位，而后跳过8位，再连续校验8位，再跳过8位，……。这样就可得出p4校验码位能够校验的码字位包括：第8位（也就是p4自己）、第9位、第10位、第11位、第12位、第13位、第14位、第15位，第24位、第25位、第26位、第27位、第28位、第29位、第30位、第31位，……。一样根据所采用的是奇校验，仍是偶校验，最终能够肯定该校验位的值。

……

    咱们把以上这些校验码所校验的位分红对应的组，它们在接收端的校验结果（经过对各校验位进行逻辑“异或运算”得出）对应表示为G一、G二、G三、G4，……，正常状况下均为0。

    2）校验码计算示例

    一样举上面的例子来讲明，码字为？？1？001？1101。

    先求第1个“？”（也就是p1，第1位）的值，由于整个码字长度为12（包括信息码长和校验码长），因此能够得出本示例中p1校验码校验的位数是一、三、五、七、九、11共6位。这6位中除了第1位（也就是p1位）不能肯定外，其他5位的值都是已知的，分别为：一、0、一、一、0。现假设采用的是偶校验（也就是要求整个被校验的位中的“1”的个数为偶数），从已知的5位码值可知，已有3个“1”，因此此时p1位校验码的值必须为“1”，得出p1=1。

    再求第2个“？”（也就是p2，第2位）的值，根据以上规则能够很快得出本示例中p2校验码校验的位数是二、三、六、七、十、11，也是一共6位。这6位中除了第2位（也就是p2位）不能肯定外，其他5位的值都是已知的，分别为：一、0、一、一、0。现假设采用的是偶校验，从已知的5位码值可知，也已有3个“1”，因此此时p2位校验码的值必须为“1”，得出p2=1。

   再求第3个“？”（也就是p3，第4位）的值，根据以上规则能够很快得出本示例中p3校验码校验的位数是四、五、六、七、12，一共5位。这5位中除了第4位（也就是p3位）不能肯定外，其他4位的值都是已知的，分别为：0、0、一、1。现假设采用的是偶校验，从已知的4位码值可知，也已有2个“1”，因此此时p2位校验码的值必须为“0”，得出p3=0。

   最后求第4个“？”（也就是p4，第8位）的值，根据以上规则能够很快得出本示例中p4校验码校验的位数是八、九、十、十一、12（原本是能够连续校验8位的，但本示例的码字后面的长度没有这么多位，因此只校验到第12位止），也是一共5位。这5位中除了第8位（也就是p4位）不能肯定外，其他4位的值都是已知的，分别为：一、一、0、1。现假设采用的是偶校验，从已知的4位码值可知，已有3个“1”，因此此时p2位校验码的值必须为“1”，得出p4=1。

    最后就能够得出整个码字的各个二进制值码字为：111000111101（带阴影的4位就是校验码）。

原文地址：http://winda.blog.51cto.com/55153/1068000