【2003年集训队论文】王知昆《浅谈用极大化思想解决最大子矩形问题》
我把03年集训队王知昆的论文搬上来辽算法
王知昆《浅谈用极大化思想解决最大子矩形问题》编程
王知昆《浅谈用极大化思想解决最大子矩形问题》
【摘要】app
本文针对一类近期常常出现的有关最大（或最优）子矩形及相关变形问题，介绍了极大化思想在这类问题中的应用。分析了两个具备必定通用性的算法。并经过一些例题讲述了这些算法选择和使用时的一些技巧。dom
【关键字】矩形，障碍点，极大子矩形函数
1、问题
最大子矩形问题：在一个给定的矩形网格中有一些障碍点，要找出网格内部不包含任何障碍点，且边界与坐标轴平行的最大子矩形。优化
2、定义和说明
首先明确一些概念。3d
一、定义有效子矩形为内部不包含任何障碍点且边界与坐标轴平行的子矩形。如图所示，第一个是有效子矩形（尽管边界上有障碍点），第二个不是有效子矩形（由于内部含有障碍点）。
code
二、极大有效子矩形：一个有效子矩形，若是不存在包含它且比它大的有效子矩形，就称这个有效子矩形为极大有效子矩形。（为了叙述方便，如下称为极大子矩形）htm
三、定义最大有效子矩形为全部有效子矩形中最大的一个（或多个）。如下简称为最大子矩形。
3、 极大化思想
【定理1】在一个有障碍点的矩形中的最大子矩形必定是一个极大子矩形。
证实：若是最大子矩形A不是一个极大子矩形，那么根据极大子矩形的定义，存在一个包含A且比A更大的有效子矩形，这与“A是最大子矩形”矛盾，因此【定理1】成立。
4、从问题的特征入手，获得两种经常使用的算法
定理1虽然很显然，但倒是很重要的。根据定理1，咱们能够获得这样一个解题思路：经过枚举全部的极大子矩形，就能够找到最大子矩形。下面根据这个思路来设计算法。
约定：为了叙述方便，设整个矩形的大小为n×m，其中障碍点个数为s。
算法1
时间复杂度：O(S2)
空间复杂度：O(S)
算法的思路是经过枚举全部的极大子矩形找出最大子矩形。根据这个思路能够发现，若是算法中有一次枚举的子矩形不是有效子矩形、或者不是极大子矩形，那么能够确定这个算法作了“无用功”，这也就是须要优化的地方。怎样保证每次枚举的都是极大子矩形呢，咱们先从极大子矩形的特征入手。
【定理2】：一个极大子矩形的四条边必定都不能向外扩展。更进一步地说，一个有效子矩形是极大子矩形的充要条件是这个子矩形的每条边要么覆盖了一个障碍点，要么与整个矩形的边界重合。
定理2的正确性很显然，若是一个有效子矩形的某一条边既没有覆盖一个障碍点，又没有与整个矩形的边界重合，那么确定存在一个包含它的有效子矩形。根据定理2，咱们能够获得一个枚举极大子矩形的算法。为了处理方便，首先在障碍点的集合中加上整个矩形四角上的点。每次枚举子矩形的上下左右边界（枚举覆盖的障碍点），而后判断是否合法（内部是否有包含障碍点）。这样的算法时间复杂度为O(S5)，显然过高了。考虑到极大子矩形不能包含障碍点，所以这样枚举4个边界显然会产生大量的无效子矩形。
考虑只枚举左右边界的状况。对于已经肯定的左右边界，能够将全部处在这个边界内的点按从上到下排序，如图1中所示，每一格就表明一个有效子矩形。这样作时间复杂度为O(S3)。因为确保每次获得的矩形都是合法的，因此枚举量比前一种算法小了不少。但须要注意的是，这样作枚举的子矩形虽然是合法的，然而不必定是极大的。因此这个算法还有优化的余地。经过对这个算法不足之处的优化，咱们能够获得一个高效的算法。
回顾上面的算法，咱们不难发现，所枚举的矩形的上下边界都覆盖了障碍点或者与整个矩形的边界重合，问题就在于左右边界上。只有那些左右边界也覆盖了障碍点或者与整个矩形的边界重合的有效子矩形才是咱们须要考察的极大子矩形，因此前面的算法作了很多“无用功”。怎么减小“无用功”呢，这里介绍一种算法（算法1），它能够用在很多此类题目上。
算法的思路是这样的，先枚举极大子矩形的左边界，而后从左到右依次扫描每个障碍点，并不断修改可行的上下边界，从而枚举出全部以这个定点为左边界的极大子矩形。考虑如图2中的三个点，如今咱们要肯定全部以1号点为左边界的极大矩形。先将1号点右边的点按横坐标排序。而后按从左到右的顺序依次扫描1号点右边的点，同时记录下当前的可行的上下边界。
开始时令当前的上下边界分别为整个矩形的上下边界。而后开始扫描。第一次遇到2号点，以2号点做为右边界，结合当前的上下边界，就获得一个极大子矩形（如图3）。同时，因为所求矩形不能包含2号点，且2号点在1号点的下方，因此须要修改当前的下边界，即以2号点的纵坐标做为新的下边界。第二次遇到3号点，这时以3号点的横坐标做为右边界又能够获得一个知足性质1的矩形（如图4）。相似的，须要相应地修改上边界。以此类推，若是这个点是在当前点（肯定左边界的点）上方，则修改上边界；若是在下方，则修改下边界；若是处在同一行，则可停止搜索（由于后面的矩形面积都是0了）。因为已经在障碍点集合中增长了整个矩形右上角和右下角的两个点，因此不会遗漏右边界与整个矩形的右边重合的极大子矩形（如图5）。须要注意的是，若是扫描到的点不在当前的上下边界内，那么就不须要对这个点进行处理。
这样作是否将全部的极大子矩形都枚举过了呢？能够发现，这样作只考虑到了左边界覆盖一个点的矩形，所以咱们还须要枚举左边界与整个矩形的左边界重合的状况。这还能够分为两类状况。一种是左边界与整个举行的左边界重合，而右边界覆盖了一个障碍点的状况，对于这种状况，能够用相似的方法从右到左扫描每个点做为右边界的状况。另外一种是左右边界均与整个矩形的左右边界重合的状况，对于这类状况咱们能够在预处理中完成：先将全部点按纵坐标排序，而后能够获得以相邻两个点的纵坐标为上下边界，左右边界与整个矩形的左右边界重合的矩形，显然这样的矩形也是极大子矩形，所以也须要被枚举到。
经过前面两步，能够枚举出全部的极大子矩形。算法1的时间复杂度是O(S2)。这样，能够解决大多数最大子矩形和相关问题了。
虽然以上的算法（算法1）看起来是比较高效的，但也有使用的局限性。能够发现，这个算法的复杂度只与障碍点的个数s有关。但对于某些问题，s最大有可能达到n×m，当s较大时，这个算法就未必能知足时间上的要求了。可否设计出一种依赖于n和m的算法呢？这样在算法1不能奏效的时候咱们还有别的选择。咱们再从新从最基本的问题开始研究。
算法2
时间复杂度：O(NM)
空间复杂度：O(S)
首先，根据定理1：最大有效子矩形必定是一个极大子矩形。不过与前一种算法不一样的是，咱们再也不要求每一次枚举的必定是极大子矩形而只要求全部的极大子矩形都被枚举到。看起来这种算法可能比前一种差，其实否则，由于前一种算法并非完美的：虽然每次考察的都是极大子矩形，但它仍是作了必定量的“无用功”。能够发现，当障碍点很密集的时候，前一种算法会作大量没用的比较工做。要解决这个问题，咱们必须跳出前面的思路，从新考虑一个新的算法。注意到极大子矩形的个数不会超过矩形内单位方格的个数，所以咱们有可能找出一种时间复杂度是O(N×M)的算法。
定义：
有效竖线：除了两个端点外，不覆盖任何障碍点的竖直线段。
悬线：上端点覆盖了一个障碍点或达到整个矩形上端的有效竖线。如图所示的三个有效竖线都是悬线。
对于任何一个极大子矩形，它的上边界上要么有一个障碍点，要么和整个矩形的上边界重合。那么若是把一个极大子矩形按x坐标不一样切割成多个（其实是无数个）与y轴垂直的线段，则其中必定存在一条悬线。并且一条悬线经过尽量地向左右移动刚好能获得一个子矩形（未必是极大子矩形，但只可能向下扩展）。经过以上的分析，咱们能够获得一个重要的定理。
【定理3】：若是将一个悬线向左右两个方向尽量移动所获得的有效子矩形称为这个悬线所对应的子矩形，那么全部悬线所对应的有效子矩形的集合必定包含了全部极大子矩形的集合。
定理3中的“尽量”移动指的是移动到一个障碍点或者矩形边界的位置。
根据【定理3】能够发现，经过枚举全部的悬线，就能够枚举出全部的极大子矩形。因为每一个悬线都与它底部的那个点一一对应，因此悬线的个数＝(n-1)×m（以矩形中除了顶部的点之外的每一个点为底部，均可以获得一个悬线，且没有遗漏）。若是能作到对每一个悬线的操做时间都为O(1)，那么整个算法的复杂度就是O(NM)。这样，咱们看到了解决问题的但愿。
如今的问题是，怎样在O(1)的时间内完成对每一个悬线的操做。咱们知道，每一个极大子矩形均可以经过一个悬线左右平移获得。因此，对于每一个肯定了底部的悬线，咱们须要知道有关于它的三个量：顶部、左右最多能移动到的位置。对于底部为(i,j)的悬线，设它的高为hight[i,j],左右最多能移动到的位置为left[i,j],right[i,j]。为了充分利用之前获得的信息，咱们将这三个函数用递推的形式给出。
对于以点(i,j)为底部的悬线：
若是点(i－1,j)为障碍点，那么，显然以(i,j)为底的悬线高度为1，并且左右都可以移动到整个矩形的左右边界，即
若是点(i－1,j)不是障碍点，那么，以(i,j)为底的悬线就等于以(i-1,j)为底的悬线＋点(i,j)到点(i-1,j)的线段。所以，height[i,j]=height[i-1,j]+1。比较麻烦的是左右边界，先考虑left[i,j]。以下图所示，(i,j)对应的悬线左右能移动的位置要在(i-1,j)的基础上变化。
即left[i,j]=max
right[i,j]的求法相似。综合起来，能够获得这三个参数的递推式：
这样作充分利用了之前获得的信息，使每一个悬线的处理时间复杂度为O(1)。对于以点(i,j)为底的悬线对应的子矩形，它的面积为(right[i,j]-left[i,j])*height[i,j]。
这样最后问题的解就是：
Result＝max
整个算法的时间复杂度为O(NM)，空间复杂度是O(NM)。
两个算法的对比：
以上说了两种具备必定通用性的处理算法，时间复杂度分别为O(S2)和O(NM)。两种算法分别适用于不一样的状况。从时间复杂度上来看，第一种算法对于障碍点稀疏的状况比较有效，第二种算法则与障碍点个数的多少没有直接的关系（固然，障碍点较少时能够经过对障碍点坐标的离散化来减少处理矩形的面积，不过这样比较麻烦，不如第一种算法好），适用于障碍点密集的状况。
5、例题
一、Winter Camp2002,奶牛浴场
分析：
题目的数学模型就是给出一个矩形和矩形中的一些障碍点，要求出矩形内的最大有效子矩形。这正是咱们前面所讨论的最大子矩形问题，所以前两种算法都适用于这个问题。
下面分析两种算法运用在本题上的优略：
对于第一种算法，不用加任何的修改就能够直接应用在这道题上，时间复杂度为O(S2)，S为障碍点个数；空间复杂度为O(S)。
对于第二种算法，须要先作必定的预处理。因为第二种算法复杂度与牛场的面积有关，而题目中牛场的面积很大（30000×30000），所以须要对数据进行离散化处理。离散化后矩形的大小降为S×S，因此时间复杂度为O(S2)，空间复杂度为O(S)。说明：须要注意的是，为了保证算法能正确执行，在离散化的时候须要加上S个点，所以实际须要的时间和空间较大，并且编程较复杂。
从以上的分析来看，不管从时空效率仍是编程复杂度的角度来看，这道题采用第一种算法都更优秀。
附件中的程序(Pascal)
program happy;
var
f:text;
x,y:array[1..5002] of longint;
maxl,n,best,a,b,c,w,l,i,j,high,low:longint;
procedure sort(l,r:longint);
var
i,j:longint;
begin
i:=l+random(r-l+1);
a:=x[i]; b:=y[i]; i:=l; j:=r;
repeat
while (x[i]
a) or ((x[j]=a) and (y[j]>b)) do j:=j-1; if i<=j then begin c:=x[i]; x[i]:=x[j]; x[j]:=c; c:=y[i]; y[i]:=y[j]; y[j]:=c; inc(i); dec(j); end; until i>j; if j>l then sort(l,j); if i
a) do j:=j-1; if i<=j then begin c:=y[i]; y[i]:=y[j]; y[j]:=c; inc(i); dec(j); end; until i>j; if j>l then sort_y(l,j); if i
best then best:=a; end; begin assign(f,'happy.in'); reset(f); readln(f,l,w); readln(f,n); for i:=1 to n do readln(f,x[i],y[i]); close(f); inc(n); x[n]:=l; y[n]:=0; inc(n); x[n]:=0; y[n]:=w; sort(1,n); best:=0; for i:=1 to n do begin high:=w; low:=0; maxl:=l-x[i]; for j:=i+1 to n do if (y[j]<=high) and (y[j]>=low) then begin if maxl*(high-low)<=best then break; max((x[j]-x[i])*(high-low)); if y[j]=y[i] then break else if y[j]>y[i] then if y[j]
low then low:=y[j]; end; high:=w; low:=0; maxl:=l-x[i]; for j:=i-1 downto 1 do if (y[j]<=high) and (y[j]>=low) then begin if maxl*(high-low)<=best then break; max((x[i]-x[j])*(high-low)); if y[j]=y[i] then break else if y[j]>y[i] then if y[j]
low then low:=y[j]; end; end; sort_y(1,n); for i:=1 to n-1 do max((y[i+1]-y[i])*l); writeln(best); end.
二、OIBH模拟赛1,提升组，Candy
题意简述：（原题见论文附件）
一个被分为 n*m 个格子的糖果盒，第 i 行第 j 列位置的格子里面有 a [i,j] 颗糖。但糖果盒的一些格子被老鼠洗劫。如今须要尽快从这个糖果盒里面切割出一个矩形糖果盒，新的糖果盒不能有洞，而且但愿保留在新糖果盒内的糖的总数尽可能多。
参数约定：1 ≤ n，m ≤ 1000
分析
首先须要注意的是：本题的模型是一个矩阵，而不是矩形。在矩阵的状况下，因为点的个数是有限的，因此又产生了一个新的问题：最大权值子矩阵。
定义：
有效子矩阵为内部不包含任何障碍点的子矩形。与有效子矩形不一样，有效子矩阵地边界上也不能包含障碍点。
有效子矩阵的权值（只有有效子矩形才有权值）为这个子矩阵包含的全部点的权值和。
最大权值有效子矩阵为全部有效子矩阵中权值最大的一个。如下简称为最大权值子矩阵。
本题的数学模型就是正权值条件下的最大权值子矩阵问题。再一次利用极大化思想，由于矩阵中的权值都是正的，因此最大权值子矩阵必定是一个极大子矩阵。因此咱们只须要枚举全部的极大子矩阵，就能从中找到最大权值子矩阵。一样，两种算法只需稍加修改就能够解决本题。下面分析两种算法应用在本题上的优略：
对于第一种算法，因为矩形中障碍点的个数是不肯定的，并且最大有可能达到N×M,这样时间复杂度有可能达到O(N2M2)，空间复杂度为O(NM)。此外，因为矩形与矩阵的不一样，因此在处理上会有一些小麻烦。
对于第二种算法，稍加变换就能够直接使用，时间复杂度为O(NM),空间复杂度为O（NM）。
能够看出，第一种算法并不适合这道题，所以最好仍是采用第二种算法。
code
program candy;
const
maxn=1000;
var
left,right,high:array[1..maxn] of longint;
s:array[0..maxn,0..maxn] of longint;
now,res,leftmost,rightmost,i,j,k,n,m:longint;
f:text;
begin
assign(f,'candy.in');
reset(f);
readln(f,n,m);
fillchar(s,sizeof(s),0);
for i:=1 to m do
begin
left[i]:=1; right[i]:=m; high[i]:=0;
end;
res:=0;
for i:=1 to n do
begin
k:=0; leftmost:=1;
for j:=1 to m do
begin
read(f,now); k:=k+now;
s[i,j]:=s[i-1,j]+k;
if now=0 then
begin
high[j]:=0; left[j]:=1; right[j]:=m;
leftmost:=j+1;
end
else
begin
high[j]:=high[j]+1;
if leftmost>left[j] then left[j]:=leftmost;
end;
end;
rightmost:=m;
for j:=m downto 1 do
begin
if high[j]=0 then
begin
rightmost:=j-1;
end
else
begin
if right[j]>rightmost then right[j]:=rightmost;
now:=s[i,right[j]]+s[i-high[j],left[j]-1]-s[i-high[j],right[j]]-s[i,left[j]-1];
if now>res then res:=now;
end;
end;
end;
writeln(res);
end.
三、Usaco Training, Section 1.5.4, Big Barn
题意简述（原题见论文附件）
Farmer John想在他的正方形农场上建一个正方形谷仓。因为农场上有一些树，并且Farmer John又不想砍这些树，所以要找出最大的一个不包含任何树的一块正方形场地。每棵树均可以当作一个点。
参数约定：牛场为N×N的，树的棵数为T。N≤1000,T≤10000。
code
program BigBarn;
var
d:array[1..1000,1..1000] of longint;
height,left,right:array[1..1000] of longint;
leftmost,rightmost,res,i,j,k,t,n:longint;
f:text;
begin
assign(f,'bigbrn.in');
reset(f);
readln(f,n,t);
fillchar(d,sizeof(d),0);
for i:=1 to t do
begin
readln(f,j,k);
d[j,k]:=1;
end;
close(f);
for i:=1 to n do
begin
height[i]:=0; left[i]:=1; right[i]:=n;
end;
res:=0;
for i:=1 to n do
begin
leftmost:=1;
for j:=1 to n do
if d[i,j]=1 then
begin
height[j]:=0; left[j]:=1; right[j]:=n;
leftmost:=j+1;
end
else
begin
height[j]:=height[j]+1;
if leftmost>left[j] then left[j]:=leftmost;
end;
rightmost:=n;
for j:=n downto 1 do
if d[i,j]=1 then rightmost:=j-1
else
begin
if rightmost
res then res:=k; end; end; assign(f,'bigbrn.out'); rewrite(f); writeln(f,res); close(f); end.
分析：
这题是矩形上的问题，但要求的是最大子正方形。首先，明确一些概念。
一、定义有效子正方形为内部不包含任何障碍点的子正方形
二、定义极大有效子正方形为不能再向外扩展的有效子正方形，一下简称极大子正方形
三、定义最大有效子正方形为全部有效子正方形中最大的一个（或多个），如下简称最大子正方形。
本题的模型有一些特殊，要在一个含有一些障碍点的矩形中求最大子正方形。这与前两题的模型是否有类似之处呢？仍是从最大子正方形的本质开始分析。
与前面的状况相似，利用极大化思想，咱们能够获得一个定理：
【定理4】：在一个有障碍点的矩形中的最大有效子正方形必定是一个极大有效子正方形。
根据【定理4】,咱们只须要枚举出全部的极大子正方形，就能够从中找出最大子正方形。极大子正方形有什么特征呢？所谓极大，就是不能再向外扩展。若是是极大子矩形，那么不能再向外扩展的充要条件是四条边上都覆盖了障碍点（【定理2】）。相似的，咱们能够知道，一个有效子正方形是极大子正方形的充要条件是它任何两条相邻的边上都覆盖了至少一个障碍点。根据这一点，能够获得一个重要的定理。
【定理5】：每个极大子正方形都至少被一个极大子矩形包含。且这个极大子正方形必定有两条不相邻的边与这个包含它的极大子矩形的边重合。
根据【定理5】,咱们只须要枚举全部的极大子矩形，并检查它所包含的极大子正方形（一个极大子矩形包含的极大子正方形都是同样大的）是不是最大的就能够了。这样，问题的实质和前面所说的最大子矩形问题是同样的，一样的，所采用的算法也是同样的。
由于算法1和算法2都枚举出了全部的极大子矩形，所以，算法1和算法2均可以用在本题上。具体的处理方法以下：对于每个枚举出的极大子矩形，如图所示，若是它的边长为a、b，那么它包含的极大子正方形的边长即为min(a,b)。
考虑到N和T的大小不一样，因此不一样的算法会有不一样的效果。下面分析两种算法应用在本题上的优略。
对于第一种算法，时间复杂度为O(T2)，对于第二种算法，时间复杂度为O(N2)。由于N<T，因此从时间复杂度的角度看，第二种算法要比第一种算法好。考虑到两个算法的空间复杂度均可以承受，因此选择第二种算法较好些。
如下是第一种和第二种算法编程实现后在USACO Training Program Gateway上的运行时间。能够看出，在数据较大时，算法2的效率比算法1高。
以上，利用极大化思想和前面设计的两个算法，经过转换模型，解决了三个具备必定表明性的例题。解题的关键就是如何利用极大化思想进行模型转换和如何选择算法。
6、小结
设计算法要从问题的基本特征入手，找出解题的突破口。本文介绍了两种适用于大部分最大子矩形问题及相关变型问题的算法，它们设计的突破口就是利用了极大化思想，找到了枚举极大子矩形这种方法。
在效率上，两种算法对于不一样的状况各有千秋。一个是针对障碍点来设计的，所以复杂度与障碍点有关；另外一个是针对整个矩形来设计的，所以复杂度与矩形的面积有关。虽然两个算法看起来有着巨大的差异，但他们的本质是相通的，都是利用极大化思想，从枚举全部的极大有效子矩形入手，找出解决问题的方法。
须要注意的是，在解决实际问题是仅靠套用一些现有算法是不够的，还须要对问题进行全面、透彻的分析,找出解题的突破口。
此外，若是采用极大化思想，前面提到的两种算法的复杂度已经不能再下降了，由于极大有效子矩形的个数就是O(NM)或O(S2)的。若是采用其余算法，理论上是有可能进一步提升算法效率，下降复杂度的。
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